练习题
1.在?ABC中，∠C=90°，AD和BE是它的两条内角平分线，设L、M、N分别为AD、AB、BE的中点，X=LM∩BE，Y=MN∩AD，Z=NL∩DE．求证：X、Y、Z三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)
证明：作ΔABC的外接圆，则M为圆心． ∵ MN∥AE， ∴ MN⊥BC．
∵ AD平分∠A，∴ 点Y在⊙M上，同理点X也在⊙M上．∴ MX=MY．
记NE∩AD=F，由于直线DEZ与ΔLNF的三边相交，直线AEC与ΔBDF三边相交，直线BFE与ΔADC三边相交，由梅氏定理，可得：
LZNEFDNZNEFDBEFD··=1．?ZNEFDLZL=EF·DL=EF·DA；
AZFEBCDAAFDBCE
EB·CD·AF=1，FD·BC·EA=1．
NZBDCEABBCBC
LM三式相乘得ZL=DC·HAE=AC·AB=AC． XE另一方面，连结BY、AX，并记MY∩BC=G，ACFN∩MX=H， 于是有∠NBY=∠LAX，
BC∠MYA=∠MAY=∠LAC， ∴∠BYN=∠ALX． GD ∴ ΔBYN∽ΔALX．
LXAFACY∴ NY=BG=BC， NZLXMYNZLX∴ ZL·XM·YN=ZL·NY=1．
由梅氏定理可得，X、Y、Z三点共线．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，
过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：AK⊥BC； 证明：作高AH．
ABHBACQDC
则由?BDP∽?BAH，?PB=BD，由?CDQ∽?CAH，?HC=CA．
PDCAC
由AD平分∠BAC，?BD=AB，由DP⊥AB，DQ⊥AC，?AP=AQ．
KAPBHCQAPBHCQBADCDCBAB∴ PB··=··=·=·=1，据塞瓦定理，AH、DHHCQAQAPBHCBDCABDCA
BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K，
∴ AK与AH重合，即AK⊥BC．
3.设P是△ABC内任一点，在形内作射线AL，BM，CN，使得∠CAL＝∠PAB，∠MBC＝∠PBA，∠NCA＝∠BCP，求证：AL、BM、CN三线共点。
A证明：设AL交BC于L，BM交CA于M，CN交AB于N，则由正弦定理得：
NEBLABsin?BALABsin?PAC??
FMLCACsin?CALACsin?PABPCMBCsin?PBAANACsin?PCB??， MAABsin?PBCNBBCsin?PCADBLC将上述三式相乘得：
QCBLCMANsin?PAC?sin?PBA?sin?PCBPCPAPB???????1 LCMANBsin?PAB?sin?PBC?sin?PCAPAPBPC由塞瓦定理逆定理知：AL、BM、CN三线共点。
4.圆心为O的一个圆经过△ABC的顶点A和C，并与AB，BC分别交于不同的两点K、N，△ABC的外接圆和△KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证：∠OMB是直角。（26届IMO试题）
AKBMNOC
证明：如图，设AC与KN相交于点P，连结PB与弧BNK相交于点M’， 则由圆幂定理知：PC?PA=PN?PK=PM'?PB
又PC?PA=PM?PB 所以PM'?PB=PM?PB 从而知点M与M’重合。
因为A，K，N，C四点共圆，所以∠BNK=∠A 又∠BNK=∠BMK， 所以∠BMK=∠A
又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=900 下证：∠KCO=∠KMO 又∠BMN=∠AKN =∠NCP 所以M，N，C，P四点公圆
又∠CMK=∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC
=3600-2∠A-∠ACB-∠AKN=1800-2∠A=1800-∠KOC
所以K，O，C，M四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC，H为自A向边BC所引高的垂足，以AH为直径的圆分别交边AB，AC于M，N（不同于A），过点A作直线LA垂直于MN，类似地作出LB，LC，求证：LA，LB，LC三线共点。 证明：连结HN，则HN⊥AC，过点B作BG⊥AB，交LA于G 由AG ⊥MN，因为∠AMN=∠AHN=∠C 所以∠BAG=900-∠AMN=900-∠C=∠HAC 又∠ABG=900=∠AHC
所以?ABG∽?AHC?∠AGB=∠ACB?A，B，G，C四点共圆， 即点G在△ABC的外接圆上。
因为∠ABG=900，故AG是△ABC外接圆的直径，就是说LA经过△ABC的外心
BHAMNC同理可证：LB，LC经过△ABC的外心。 故结论成立。
6．如图，△ABC为锐角三角形，且BC>AC，O是它的外心，H是它的垂心，F是高CH的
垂足，过F作OF的垂线交边CA于P，证明：∠FHP=∠BAC
COHBFOHFTMCPA
BPNAD
证明：延长CF交圆O于D，连结BD，BH，由垂心性质可知F为HD的中点。
设FP所在直线交圆O于M，N，交BD于点T，由OF?MN，知F为MN中点，由蝴蝶定理知：F为PT中点；又F为HD中点，故HP//TD，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC 7．如图，在⊿ABC中，AB≠AC，I是它的内心，过I作一圆与边AB切于B，与直线AC交于D、E，求证：IC平分∠DIE.
【分析】I是⊿ABC的内心→∠ICD=∠ICB，
要证∠CID=∠CIE，只需证∠IDC=∠IFC，即证∠IDA=∠IFB， B、I、D、E共圆→∠IDA=∠IBE， AB是圆的切线→∠IBA=∠IEB， I是⊿ABC的内心→∠IBA=∠IBF，
∴∠IEB=∠IBF，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA，得证.
8．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，
q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知
A'
OD=OA′·sin
2B'sinA'2sin =A′B′··2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22， =A′B′·
A'?B'sin2AIDFCEBr1r2r·=.(IMO-12) q1q2qC'OA'..ED.B'O'A'B'cos22 ∴OD?tgA'tgB'. O′E= A′B′·
A'?B'O'E22sin2亦即有
cosr1r2A?CMA?CNBBABrtgtg=tgtg=. ·=tgtg222222qq1q29.如图，从半圆上的一点C向直径AB引垂线，设垂足为D，作⊙O1切BC，CD，DB分别于点E，F，G，求证：AC=AG
︿CEFAODO1GB
证明：设半圆的圆心为O，则O，O1，E共线，连O1F，知O1F⊥CD，得O1F//AB，连结EF，
11AE，由∠FEO1=∠FO1O=∠EOB=∠OEA，知E，F，A三点共线。
22又因为∠ACB=900，CD⊥AB，有∠ACF=∠ABC=∠AEC，从而AC是⊙CEF的切线，故点A对⊙CEF的幂AC2等于点A对⊙O1的幂AG2，即有AC=AG
CEFAODO1GB
10.如图，PAB、PCD为圆O割线，AD交BC于E，AC交BD于F，则EF为P的极线。（1997年CMO试题等价表述）
证法一：作AEB外接圆交PE于M，则PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圆（其实P为三圆根心且M为PAECBD密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD， BOMD共圆。∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M为ST中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P极线上，同理F亦然，故EF为P的极线。
