第1节 函数及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
两个集合A，B 函数 设A，B是两个非空数集 映射 设A，B是两个非空集合 如果按照某种确定的对应关系f，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，使对于集合A中的任意一个元素对应关系f：A→B 在集合B中都有唯一确定的数x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射：f：A→B f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B名称 的一个函数 记法 2.函数的定义域、值域
函数y＝f(x)，x∈A (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. [常用结论与易错提醒]
1.由函数解析式确定定义域的原则
1
(1)分式中，分母不为0； (2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于幂函数y＝x，如果α≤0，要求x≠0； (4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；
1
(6)正切函数y＝tan x要求x≠kπ＋π，k∈Z.
22.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x是同一个函数.( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y＝x＋1－1的值域是{y|y≥1}.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(3)由于x＋1≥1，故y＝x＋1－1≥0，故函数y＝x＋1－1的值域是{y|y≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2
2
2
0
2
0
α
解析 A中函数定义域不是[－2，2]，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是[0，2]. 答案 B
3.设函数y＝4－x的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A.(1，2) C.(－2，1)
2
2B.(1，2] D.[－2，1)
解析 由4－x≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝ (－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
2
答案 D
??x－2，x≤2，a4.已知a为实数，设函数f(x)＝?则f(2＋2)的值为( )
?log2（x－2），x＞2，?
aA.2 C.2
aaaB.a D.a或2
a解析 因为2＋2＞2，所以f(2＋2)＝log2(2＋2－2)＝a，故选B. 答案 B
5.设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________. 解析 由题意得g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴g(x)＝2x－1. 答案 2x－1
??e，x≤0，
6.设函数f(x)＝?则
??ln x，x＞0，
xf?f???＝__________，方程f(f(x))＝1的解集为
2
??1??????
__________.
111?1???1???1?解析 因为f??＝ln ，所以f?f???＝f?ln ?＝eln ＝.令f(x)＝t，由f(t)＝1，解得222?2???2???2?
t＝0或t＝e，所以再解f(x)＝0及f(x)＝e，解得x＝1或x＝ee，所以方程f(f(x))＝1的
解集为{1，e}. 1e
答案 {1，e}
2
考点一 求函数的定义域
【例1】 (1)(2019·金丽衢十二校联考)函数y＝3－2x－x的定义域是________，值域是________.
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 020]，则函数g(x)＝____________.
解析 (1)由3－2x－x≥0，得－3≤x≤1，所以函数y＝3－2x－x的定义域为
[－3，1].当x＝－1时，y＝3－2x－x取得最大值2，当x＝1或－3时，y＝3－2x－x取得最小值0，所以函数y＝3－2x－x的值域为[0，2]. (2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 020]，
22
2
2
2
2
e
f（x＋1）
的定义域是
x－1
3
??1≤x＋1≤2 020，
∴g(x)有意义，应满足?
?x－1≠0.?
∴0≤x≤2 019，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 019，且x≠1}.
答案 (1)[－3，1] [0，2] (2){x|0≤x≤2 019，且x≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
【训练1】 (1)(2019·杭州高级中学测试)已知函数f(x)＝x的定义域为(1，2)，则函数
f(x2)的定义域是( )
A.(1，2) C.R
(2)已知函数f(x)＝2
x－2ax＋a2
B.(1，4)
D.(－2，－1)∪(1，2)
－1，当a＝1时不等式f(x)≥1的解集是________；若函数
f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由题意，得1 (2)当a＝1时，f(x)≥1?2x－2x＋1≥2，由指数函数的单调性可得x－2x＋1≥1，解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞).若函数的定义域为R，即不等式 2 x－2ax＋a2 2 2 2 2 ≥1恒成立，等价于x－2ax＋a≥0恒成立，只需Δ＝4a－4a≤0，解得a∈[0，1]. 22 答案 (1)D (2)(－∞，0]∪[2，＋∞) [0，1] 考点二 求函数的解析式 【例2】 (1)已知f(x)＝ax＋bx＋cx＋d，f(1)＝f(2)＝1，f(3)＝f(4)＝2，则a＝________， 3 2 f(5)＝________. ?2?(2)已知f?＋1?＝lg x，则f(x)＝________； x? ? ?1?(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f??·x－1，则f(x)＝________. x?? 解析 (1)设f(x)＝a(x－1)(x－2)(x－h)＋1， 4
