2009B
二、 得分 已知y(n)?5y(n?1)?6y(n?2)?0，且y(0)?0，y(1)?1，求y(n)。（6分）
2解：特征方程为：a?5a?6?0
???2????3??0
?1?2,?2?3
于是差分方程的通解为：y?n??c12n?c23n
代入初始条件：y?0??c1?c2?0， y?1??2c1?3c2?1 解得：C1??1, C2?1 所以：y?n???2n?3n
得分 三、 有限长序列的离散傅里叶变换相当于其z变换在单位圆上的取样，如：10
点序列x(n)的离散傅里叶变换相当于X(z)在单位圆上10个等分点上的取样，如图1(a)所示。若X(z)在z?0.5ej[(2k?/10)?(?/10)]，（9k,...?.2,,10,）各点上取样，如图1(b)所示。试指出如何
修改x(n)，获得x1(n)，使其离散傅里叶变换相当于X(z)在图1(b) 所示的各点上的取样。（6分）
jIm??????????jIm2?弧度10???2?弧度10????Re?2?弧度20Re??半径为0.5的圆半径为1的圆图1(a)
图1(b)
解：X(z)在z?0.5ej[(2k?/10)?(?/10)]，（9,k...?.,2,1,0）各点上取样值为：
X(z)9z?0.5ej[(2k?/10)?(?/10)]?nz?0.5ej[(2k?/10)?(?/10)]??x(n)zn?0??x(n)(0.5)e?nn?09?j?10n?je2?kn10??x(n)(0.5)e?nn?09?j?10nWkn10
设 x1(n)?x(n)(0.5)e X(z)?n?j?10kn
kn??x1(n)W10?X1(k) n?09z?0.5ej[(2k?/10)?(?/10)]所以，将x(n)修改为x1(n)?x(n)(0.5)e?n?j?10kn，可达到题目要求。
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四、 得分 求下列序列的z变换，并确定其零、极点和收敛域。（10分）
（1）x(n)?a, 0?a?1 （2）x(n)?e 解：（1）
nj?0nu(n)
X(z)?a??nn???2???azn?n??azn?0??n?n?2n?????1a?nz?n?1az?1?az?11?az1?az(1?a)?(1?az?1)(1?az)(z?a)(1?az)
零点：z?0，z??；极点：z?a，z?1a 收敛域：a?z?
（2）X?z??1 a?ej?onz?n??ej?o?z?1n?0n?0????n?11?ej?oz?1
j? 零点：z?0； 极点： z?e0
收敛域：z?1
五、 得分 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述：
y(n)?11y(n?1)?x(n)?x(n?1) 22（1）求系统的系统函数H(z)和频率响应H(ej?)。（5分） （2）求系统对输入x(n)?cos(n?)的响应。 （5分）
241X(z)z?1 211?z?1Y(z)2 系统函数：H(z)? ?1X(z)1?z?12解： （1） Y(z)?Y(z)z?1??12?X(z)?
频率响应：H(z)z?ej?11?e?j?2 ?1?j?1?e2 （2）输入信号x(n)?cos(?n?)的频率为?0? 242j?0?? 系统的响应为y(n)?H(e)cos(?0n??4?arg[H(ej?0)])
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11?j11?e?j?01?e21?jj?222 H(e0)????11?j1?e?j?01?1e21?j22211?jj?2?1 所以：幅度响应：H(e0)?11?j2
?111j]?arg[1?j]??2arctan() 222??1所以系统的响应为：y(n)?cos(n??2arctan())
242 相位响应：arg[H(ej?0)]?arg[1?
六、 得分 设图2所示的是一个因果的线性非移变系统的系统方框图 （1）写出描述系统的差分方程。（5分）
（2）求系统函数H(z)，并指出其收敛域和零、极点。并判断系统的稳定性。（5分） （3）求这个系统的单位取样响应h(n)。（5分）
x(n)1z?1?y(n)4z?1?z?1?3 解：
（1）由系统框图可得：y(n)?4y(n?1)?3y(n?2)?x(n?1) （2）由差分方程可得：Y(z)?4Y(z)z?1图2
?3Y(z)z?2?X(z)z?1
Y(z)z?1zz??? 系统函数为：H(z)? ?1?22X(z)1?4z?3zz?4z?3(z?1)(z?3)
零点：z?0，z??；极点：z?1，z?3
因为系统是因果的，所以收敛域为z?3
因为收敛域不包括单位圆，所以系统不稳定。 （3） h(n)?Z[H(z)]
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?1A1A2Y(z)z?1 H(z)? ????1?2?1?1X(z)1?4z?3z1?3z1?zA1?H(z)(1?3z?1) A2?H(z)(1?z?1)z?3?1 21 ??z?12?1??1?????1?1??1?2h(n)?Z[H(z)]?Z??Z?2?1? ?1??1?3z??1?z????? 因为收敛域为：z?3
h(n)?Z?1[H(z)]?1n[3?1]u(n) 2
七、 得分 图3表示一个4点的序列x(n)
（1）请利用?(n)及其延迟写出x(n)的表达式；（3分） （2）计算线性卷积x(n)?x(n)； （4分） （3）计算4点循环卷积x(n)④x(n)；（4分）
（4）在什么条件下，循环卷积计算的结果与线性卷积的结果相同？ （2分）
21021 解：（1）x(n)?2?(n)??(n?1)??(n?2)?2?(n?3) （2）由竖乘法可求解：
12图33n
x(n)?x(n?){4,4,5,10,，5所在的区间为［0，6］
（3） 可由循环卷积的竖乘法求解，也可由以下矩阵的方法求解:
?y(0)??x(0)???y(1)????x(1)?y(2)??x(2)????y(3)??x(3)x(3)x(0)x(1)x(2)x(2)x(3)x(0)x(1)x(1)??x(1)??2????x(2)??x(2)??1?????1x(3)x(3)????x(0)??x(4)??2211??2??9??????221??1??8?? ?????12219?????112??2??10?第 4 页 共 5 页
