北 京 四 中
撰 稿:李 静 编 审:安东明 责 编:张 杨
两角和与差的三角函数
[本周重点]两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[本周难点]余弦和角公式的推导
[知识结构]
1．两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础.其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数（证明过程见课本）
2．通过下面各组数的值的比较:①cos(30°-90°)与cos30°-cos90° ②sin(30°+60°)和
sin30°+sin60°.我们应该得出如下结论:一般情况下，cos(α±β)≠cosα±cosβ, sin(α±β)≠sinα±sinβ.但不排除一些特例，
如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα.
3．当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形.注意两角和与差的三角函
数是诱导公式
等的基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例.
4．关于公式的正用、逆用及变用
例. 求下列各式的值
①sin15° ②sin24°cos36°+cos24°cos54°
③
分析与解答:
④ tan20°+tan40°+tan20°tan40°
①可将15°改写成60°-45°，再利用两角差的正弦公式
sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=
.
②若将式中的cos54°改写为sin36°则恰为两角和的正弦:
原式=sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°)
.
③将1+tan15°视为tan45°+tan15°,将1-tan15°视为1-tan45°tan15°，即利用tan45°=1，
则式子恰为两角和的正切:原式
.
④由于20°+40°=60°，又 将其变形tan20°+tan40°
移到左边得
(1-tan20°tan40°)
，
tan20°tan40°将
.
说明:①③是直接利用两角差的正弦和两角和的正切公式，即所谓“正用公式”
②把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和正弦公式.
④则是利用了两角和正切公式的变形，找出tanα+tanβ、tanα·tanβ与tan(α+β)三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题.
变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如③中将“1”变形为tan45°，又如同角三角函数关系中的sin2α+cos2α=1，在化简式子时有着重要应用，但有时又需将“1”化为sin2α+cos2α如化简
5．关于求值、化简及证明题的基本要求:“求值”，顾名思义，显然最后应求出具体数值来；“化简”是将一个较复杂的三角式，化成最简单的式子.其要求如下:函数种类要最少、项数要最少、函数的次数要最低、能求出值的要求出其值，尽可能化为整式形式；至于“证明”，通常是采用从繁的一边变形到简的一边，若两边都较繁则两边分别化简为同一个式子，也可以采取两边相减或相除再进行化简的办法等.
[例题选讲]
例1．求下列各式的值
①tan15°+tan30°+tan15°tan30° ②(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan44°)
③
分析与解答:
①解法一:∵ ,
∴ tan15°+tan30°=1-tan15°tan30° ∴ 原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1
解法二:原式=tan15°(1+tan30°)+tan30°
②∵ (1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44° =1+tan(1°+44°)(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2.
∴ 同理(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2
故原式.
③ 原式
例2．解下列各题
（1）已知:
，求cos(α-β)的值.
（2）已知:
，，0°<α<90°, 0°<β<90°，求cosβ的值.
（3）已知:tanα和tanβ是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(α+β)的值.
分析与解答:
（1）由已知可求得.
当α在第一象限而β在第二象限时，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
.
当α在第一象限而β在第三象限时，cos(α-β).
当α在第二象限而β在第二象限时，cos(α-β).
当α在第二象限而β在第三象限时，cos(α-β)
说明:解这种题目时，应注意，需要讨论α、β在不同象限的情况.
.
（2）∵ 0°<α<90°, ∴ ,
