高中数学选修2-1学案
2.1.1 曲线与方程
[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.
知识点 曲线的方程、方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
[思考] (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现
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高中数学选修2-1学案 什么情况？举例说明.
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ [答案] (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界.如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆.
(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
题型一 曲线与方程的概念
例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( ) A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0 [答案] C
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.
解 ①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的
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高中数学选修2-1学案 点的轨迹方程是x＋y＝0.
反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；
二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 跟踪训练1 判断下列命题是否正确.
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝r2－x2； (2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 解 (1)不正确.设(x0，y0)是方程y＝方取算术平方根，得r2－x2的解，则y0＝
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r2－x20，即x0＋y0＝r.两边开平
2＋y2＝r即点(x，y)到原点的距离等于r，点(x，y)是这个圆上的x000000
点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r为半径的圆上r3
的一点如点(，－r)在圆上，却不是y＝
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r2－x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是
r2－x2，而应是y＝±r2－x2.
方程的解.所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y＝
(2)不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解.然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线
例2 方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，
??2x＋3y－5＝0，
所以可得?或者x－3－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程
?x－3≥0，?
表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)一条直线x＝4.
反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线. 跟踪训练2 “(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0，
??2x＋3y－5＝0，
所以可得?或者x＋2y＝8，即2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程
??x＋2y>0，
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高中数学选修2-1学案
表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用
例3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
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∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.
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∴k≤，∴k的取值范围是(－∞，]. 22
反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
跟踪训练3 (1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( ) A.a>1
C.0
[解析] ∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
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