审时分类 度势类比
----运用“分类·类比”思维法教学一元一次不等式组
单位：浙江省诸暨市滨江中学 教师：金天安 邮编：311800 手机：18967557579
1
审时分类 度势类比
----运用“分类·类比”思维法教学一元一次不等式组 浙江省诸暨市滨江中学 金天安
［内容提要］ 本人对照《标准》要求，分析重难程度，结合学生实际，对“一元一次不等式组”分为“平常”型和“端常”型两类，并把“列一元一次不等式组解应用题”的内容分为“相等不等”型、“末位多少”型和“方案决策”型三类，让学生运用类比思维法达其触类旁通、举一反三之效，收到了较好的教学效果。现付同仁共勉。
［主题词］不等式组 分类 类比 奏效
解不等式组就是解其中的每一个不等式，然后找出解集的公共部分。消元、转化、分类讨论等数学思想在不等式及其应用中有极广泛的应用，“分类·类比”思维的方法在一元一次不等式组教学中也很能奏效。
“方法灵活，习惯良好，适当多练”，这是我多年从事初中数学教学的原则。分类·类比思维法，即把教材内容给予合理的分类，再比照类别进行教学解题的思考方法。在数学中，分类思考是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题的有效方略。这里讲的分类指将教材的一些概念和应用题按某些特征分成几类。类比作为一种重要的思维方法和推理方法，在数学发展的历史长河中占有举足轻重的地位，我认为在数学课堂教学和内容归纳小结中，我们也要认真审视和好好利用它。
“一元一次不等式（组）”是初中数学的重要内容，是今后学习数学的重要基础知识，是历年中考重点考查内容之一。浙教版初中数学八（上）第5章是一元一次不等式①，其中第4节为一元一次不等式组。本节内容教材只安排了2课时，显然少了一点，我在教学本节内容时，在适当的增加一点课时的同时，按《标准》②的要求，着力进行了教材的处理，把“一元一次不等式组”和“列一元一次不等式组解应用题”分门别类，然后让学生运用类比思维方法解决问题。
2
一、讲清一元一次不等式组和它的解的概念
“一元一次不等式组”这一节，教材是用购买墨水笔和圆珠笔的实例引入 一元一次不等式组的概念的③。我在讲解引例时，大力引导学生发现问题情境中有多少个彼此相关的不等式关系，然后让学生尝试列出表示这些不等式。这样使学生亲身感受现实生活中经常会遇到一个未知数需要同时满足若干个不等式的情形。在概括一元一次不等式组和它的解的概念时，注意强调以下几点：1、其中的 “同一未知数” 这五个关键字；2、在书写不等式组时不能漏掉大括号，大括号表示“同时满足”，不等式组的解是各个不等式的解的公共部分，并且必须写出解的最后结论；3、将一元一次不等式组与二元一次方程组相比较，它们除了等式与不等式的区别之外，不等式组只含有同一个未知数，而方程组含有两
?x?y?0,个不同的未知数，例如?就不是一元一次不等式组；4、理解“无解”的
?2x?y?1意义。
二、一元一次不等式组的分类及其解法例析
有了一元一次不等式组解的定义后，解一元一次不等式组的思路就比较简单了。但一元一次不等式组的形式往往不同，因而求解的方法也该讲究了，求解的速度也就不同了。为此我把一元一次不等式组分为以下两种类型。
1、 “平常”型
有两个一元一次不等式组成的不等式组称平常型不等式组。也称“两行竖 式型”不等式组。
?2x?1?x?1,例1.解不等式组：? 这类一元一次不等式组的求解过程为：
?x?8?4x?1.。（1）依次解各个一元一次不等式；（2）把各个一元一次不等式的解分别表示在同一条数轴上；（3）根据解在数轴上的表示确定不等式组的解。因为由两个一元一次不等式组成的不等式组，化简后不外乎以下四种情形。在取各个不等式的解
?x?m的公共部分时，解的情况是：A.公式化：若m＜n，则（1）?解为x＞n；
?x?n;?x?m?x?m?x?m（2）? 解为x＜m；（3）（4） ? 解为m＜x＜n；? 无解。B.借助数轴：
x?n;x?n;x?n;???
mnmnmnmn3
C.概括成口诀：“大大取大”；“小小取小”；“大小小大取中间”；“大大小小是无解”。不过教学中还是应提倡通过数轴来确定不等式组的解，其他方法让学生自己去感悟，自己去达到熟能生巧。
因《标准》对本节的教学目标是“会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解”，因此有三个或三个以上一元一次不等式组成的不等式组在这里就不详谈了。不过，有三个或三个以上一元一次不等式组成的不等式组的解法也是先解组内的每一个不等式，然后找出解集的公共部分，若没有公共部分，同样是无解。
2、“端常”型
由三个代数式和两个不等号连接，且只有中间代数式含有未知数，两端都是常数组成的不等式组称“端常”型不等式组。也称“端常横式型” 不等式组。其形式为：“常数＜含未知数的代数式＜常数”。
＜2x-3＜5。 例2.解不等式组 3简析：这个不等式组虽然可以写成“平常”型的一元一次不等式组
?2x?3?3来解，但不如直接依据不等式的基本性质，在各式先加上3，??2x?3?5＜x＜4来得简便。这种方法可称之为“加减乘除简便法”再除以2得解为 3。此类不等式组在列不等式（组）解应用题中时有出现，应用上述简便法解不等式组，显然能有效地提高解题速度。
类比练习题：解不等式组 5≤（2x-3）+x-48≤9。 三、列一元一次不等式组解应用题的分类及其解法例析
利用一元一次不等式（组）分析解决实际问题，有充分体现数学实际价值的趋向。列不等式组解用应题关健在于认真分析，有些不等关系比较隐蔽，需要仔细审题才能发现，要抓住关键字词，如“不超过”、“不低于”、 “至少” 、“最多”、“少于”、“不少于”等，理清题目的不等关系，不等式组获解后，要根据实际问题的意义，从解集中找出符合条件的答案（求不等式的整数解在解决实际问题中有较多的应用）。由于列不等式组解应用题的问题“疙瘩” 较多，难度较大，
4
