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运用公式法因式分解
一、学习指导
1、代数中常用的乘法公式有：
22
平方差公式：(a+b)(a－b)＝a－b
222
完全平方公式：(a±b)＝a±2ab+b 2、因式分解的公式：
将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：
22
平方差公式：a－b＝(a+b)(a－b)
222
完全平方公式：a±2ab+b＝(a±b)
3、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。 二、例题分析：
222416
例1：分解因式：（1）4a－9b (2)－25ay+16b
22
解：（1）4a－9b
22
＝(2a)－(3b) ＝(2a+3b)(2a－3b)
2416
解：（2）－25ay+16b
1624
＝16b－25ay
8222
＝(4b)－(5ay)
8282
＝(4b+5ay)(4b－5ay)
8222
注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b)－(5ay)
4861022
例2:分解因式：（1）36bx－9cy （2）(x+2y)－(x－2y)
88 22
（3）81x－y （4）(3a+2b)－(2a+3b) 分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x－2y分别为公式中的a和b。（3）题也
44
是两项式，9x和y是公式中的a和b。（4）题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。
48610
解：（1）36bx－9cy
48610
＝9(4bx－cy)
242352
＝9[(2bx)－(cy)]
24352435
＝9(2bx+cy)(2bx－cy)
注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
22
（2）(x+2y)－(x－2y)
＝[(x+2y)+(x－2y)][(x+2y)－(x－2y)] ＝(x+2y+x－2y)(x+2y－x+2y) ＝(2x)(4y)＝8xy
注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。 （3）81x8?y8
4242
＝(9x)－(y)
4444
＝(9x+y)(9x－y)
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＝(9x+y)[(3x)－(y)]
442222
＝(9x+y)[(3x+y)(3x－y)]
442222
＝(9x+y)(3x+y)(3x－y)
442
注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x－y还可以再用平方差公式分解②3x2
－y在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。
22
（4）(3a+2b)－(2a+3b)
＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)] ＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b－2a－3b) ＝(5a+5b)(a－b) ＝5(a+b)(a－b)
注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。
22 22
例3、分解因式： (2m－n)－121(m+n) －4(m+n)+25(m－2n)
2
分析：（1）题的第二项应写成[11(m+n)]就可以用平方差公式分解，2m－n和11(m+n)为公式中的a和b，（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5(m－2n)和2(m+n)，再应用平方差公式分解。
22
解：（1）(2m－n)－121(m+n)
22
＝(2m－n)－[11(m+n)]
＝[(2m－n)+11(m+n)][(2m－n)－11(m+n)] ＝(2m－n+11m+11n)(2m－n－11m－11n) ＝(13m+10n)(－9m－12n) ＝－3(13m+10n)(3m+4n)
注： （－9m－12n）这项应提取公因式－3
22
（2）－4(m+n)+25(m－2n)
22
＝25(m－2n)－4(m+n)
22
＝[5(m－2n)]－[2(m+n)]
＝[5(m－2n)+2(m+n)][5(m－2n)－2(m+n)] ＝(5m－10n+2m+2n)(5m－10n－2m－2n) ＝(7m－8n)(3m－12n) ＝3(7m－8n)(m－4n)
注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如－2(m+n)＝－2m－2n≠－2m+2n
44
例4.分解因式: (1)a5b－ab (2)a(m+n)－b(m+n)
1 (3)－ am?1?am?1
16分析：这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式。注意要分解到不能分解为止。
5
解：（1）ab－ab
4
＝ab(a－1)
22
＝ab(a+1)(a－1)
2
＝ab(a+1)(a+1)(a－1)
22
注：a+1在有理数范围不能分解，a－1可以分解。
44
（2）a(m+n)－b(m+n)
44
＝(m+n)(a－b)
2222
＝(m+n)(a+b)(a－b)
22
＝(m+n)(a+b)(a+b)(a－b)
442222
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1m?1a?am?1 161m?12
a ＝－(a－16) 161m?1a ＝－ (a+4)(a－4) 161注：提取分数公因式－便于后面用公式法分解。
1622
例5、计算1.2222×9－1.3333×4
分析:这是数字的计算问题，若按运算顺序一步步做很繁，我们认真观察，寻求简便算法，发现题中的两项，每一项都可以写成一个数的完全平方，再可以用平方差公式进行因式分解，这样可以使计算简化。
22
解：1.2222×9－1.3333×4
22
＝(1.2222×3)－(1.3333×2)
＝(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3－1.3333×2) ＝(3.6666+2.6666)(3.6666－2.6666) ＝6.3332×1＝6.3332
48
例6、若(2－1)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。
484848
分析：首先应分析2－1的特殊形式为平方差，由题意2－1能被两个数整除说明2－1
48
能分解成哪两个数与其它因式的积，并将2－1进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。
48
解：2－1
24222424
＝(2)－1＝(2+1)(2－1)
241212
＝(2+1)(2+1)(2－1)
241266
＝(2+1)(2+1)(2+1)(2－1) 662412
2+1＝65为整数，2－1＝63为整数，2+1和2+1都为整数
（3）－
248?124126
＝(2+1)(2+1)(2－1)为整数。 65248?124126
＝(2+1)(2+1)(2+1)也为整数。 6348
2－1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。
48
说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是2－1是因式分解的平方差公式的基本
66
形式。将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现2+1的因式，2+1＝65，及
633
出现2－1＝63。因为2+1＝9，2－1＝8，这两个数已经不符合本题的要求了。
2222
例9、分解因式：（1）x+6ax+9a （2）－x－4y+4xy
2
（3）9（a－b）+6（a－b）+1
分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。
2222
（1）题的x＝（x），9a＝（3a），且这两项的符号相同，可写成平方和。这样x和3a就为公式中的a和b了。另外6ax正好是2（x）（3a）即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。
22
解：（1）x+6ax+9a
22
＝（x）+2（x）（3a）+（3a）
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＝（x+3a）
22
注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x和（3a）项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。
222
分析：（2）题中的－x－4y，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即－x－222
4y＝－[x+（2y）]，4xy正好是2（x）（2y）是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时4xy要变号为－4xy。
22
解：（2）－x－4y+4xy
22
＝－（x－4xy+4y）
22
＝－[x－2（x）（2y）+（2y）]
2
＝－（x－2y）
2 22
分析：（3）题9（a－b）+1可写成平方和[3（a－b）]+1，就找到公式中的a和b项为3（a－b）和1，6（a－b）正好是2×3（a－b）×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。
2
解：（3）9（a－b）+6（a－b）+1
22
＝[3（a－b）]+2×3（a－b）×1+1
2
＝[3（a－b）+1]
2
＝（3a－3b+1）
422222
例10、分解因式：（1）ax－4axy+4xy
22222
（2）（x+y）－12（x+y）z+36z （3）（x+4x）+8（x+4x）+16 （4）
2
12222224
（x－2y）－2（x－2y）y+2y 22
4
2
2
2
分析：（1）题有公因式x应先提取出来，剩余因式（a－4ay+4y）正好是（a－2y）2
422222
解：（1）ax－4axy+4xy
2422
＝x（a－4ay+4y）
22222
＝x[（a）－2（a）（2y）+(2y)]
222
＝x（a－2y） 分析：（2）中可将（x+y）看作一个整体，那么这个多项式就相当于（x+y）的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为（x+y）和（6z），中间项－2ab为－2（x+y）（6z），正好适合完全平方公式。
22
解：（x+y）－12（x+y）z+36z
22
＝（x+y）－2（x+y）（6z）+（6z）
2
＝（x+y－6z）
注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项（或一部分）作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将（x+y）代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。
22
分析：（3）的题型与（2）题相同，只不过公式中的a和b为x+4x和4，分解为（x+4x+4）22
后再将x+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。
222
解：（x+4x）+8（x+4x）+16
2222
＝（x+4x）+2（x+4x）×4+4
2 2
＝(x+4x+4)
224
＝[（x+2）]＝（x+2）
222222
分析：（4）题把x－2y和y看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x－2y和y的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，
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