2012期末复习习题讲解
1. (第7章第16题)有三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中
的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3； (1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。
解：(1)显然，n时刻或第n次交换后甲袋中有k(k=0,1,2,3)个白球的概率仅仅取决于n-1时刻或第n-1次交换后甲袋中的白球数，各种条件概率为
P{X(n)?0|X(n?1)?0}?1?0?0
(三个白球全在乙袋，从甲袋中拿走1个黑球的概率为1，从乙袋中拿来0个白球的概率为0)
P{X(n)?1|X(n?1)?0}?1?1?1
(三个白球全在乙袋，从甲袋中必然拿走1个黑球，从乙袋中必然拿来1个白球)
P{X(n)?2|X(n?1)?0}?1?0?0，P{X(n)?3|X(n?1)?0}?1?0?0
(甲袋原无黑球，从乙袋中1次不可能拿来2、3个白球)
111P{X(n)?0|X(n?1)?1}???
339(甲、乙袋白球分布为1,2；事件为拿走一个白球，拿来一个黑球)
21124P{X(n)?1|X(n?1)?1}?????
33339(甲、乙袋白球分布为1,2；事件为拿走一个黑球，拿来一个黑球；或拿走一个白球，拿来一个白球)
224P{X(n)?2|X(n?1)?1}???
339(甲、乙袋白球分布为1,2；事件为拿走一个黑球，拿来一个白球)
P{X(n)?3|X(n?1)?1}?0
(甲、乙袋白球分布为1,2；不可能1次拿来2个白球)
同理可以得到
P{X(n)?0|X(n?1)?2}?0 224P{X(n)?1|X(n?1)?2}???
33912214P{X(n)?2|X(n?1)?2}?????
33339111P{X(n)?3|X(n?1)?2}???
339P{X(n)?0|X(n?1)?3}?0 P{X(n)?1|X(n?1)?3}?0 P{X(n)?2|X(n?1)?3}?1?1?1 P{X(n)?3|X(n?1)?3}?1?0?0
显然，在X(n-1)的取值确定的情况下，X(n)取各种不同值的概率与n-2,n-3,…无关，该过程为马尔可夫链。
(2)根据(1)所得到的条件概率分布律得到一步转移概率矩阵为
P(1)100??0?1/94/94/90??(注意每行的和为1) ???04/94/91/9???0010??(3)
P(2)?P(1)?P(1)4/94/90??1/9?4/8141/8132/814/81??(注意每行的和为1) ???4/8132/8141/814/81???04/94/91/9??P(3)?P(2)?P(1)41/8132/814/81??4/81?41/729328/729328/72932/729??(注意每行的和为1) ???32/729328/729328/8141/729???4/8132/8141/814/81??显然，存在m=3(只要存在任何一个m就可以)，使得P(3)的所有元素值非负，则该过程是遍历的，存在平稳分布。 取方程组
0?01/9?14/94/9?p?p, ??04/94/9?01/9?00??p1??p1??p??p?0???2???2?(注意转移概率矩阵的转置) 1??p3??p3??????0??p4??p4?的第1，2，4个方程以及p1?p2?p3?p4?1联立求解可以得到
p1?1991,p2?,p3?,p4?。 20202020(4) X(0)=0对应的状态概率列阵为[1,0,0,0]T，则经过3次交换后，X(3)的状态概率列阵为
?4/8141/72932/7294/81??1??4/81??41/81328/729328/72932/81??0??41/81?(3)T?????? p(3)?Pp(0)???32/81328/729328/72941/81??0??32/81???????4/8132/72941/7294/8104/81??????则经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率为4/81(状态概率列阵的第4个元素的值，即n=3时，X(3)取值为第4种状态的概率，或X(3)=3的概率)。
2．设某马尔可夫链具有两个状态0,1；在任意时刻，0转化为1以及1转化为0的概率均为0.1，假设初始时刻处于状态1；(1)求一步转移概率矩阵；(2)求经过3次转换后状态维持不变的概率。 解：(1)
?0.90.1? P(1)????0.10.9?(2)
P(3)?0.90.1??0.7560.244??????0.2440.756? 0.10.9????3?0.7560.244??0??0.244? p(3)?P(3)Tp(0)?????????0.2440.756??1??0.756?经过3次转换后状态维持不变(原来处于第2种状态，转换后仍然处于第2种状态)的概率为0.756，发生变化的概率为0.244。
3．(第3章第25题)设具有功率谱密度函数GX(?)?(??3)/(??8)的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为GY(?)?1，(1)求该系统的传递函数；(2)求X(t)的自相关函数及均方值。 解：根据随机过程通过线性系统理论，有
22?2?8|H(j?)|?GY(?)/GX(?)?2
??32作因式分解
?2?8(22?j?)(22?j?)|H(j?)|?2?
??3(3?j?)(3?j?)2?2?8显然，满足|H(j?)|?2的H(j?)可以有如下几种：
??32(1) H(j?)?22?j?22?322?j?22?3，(2) H(j?)? ?1???1?3?j?3?j?3?j?3?j?22?j?22?322?j?22?3，(4) H(j?)? ??1??1?3?j?3?j?3?j?3?j?(3) H(j?)?其中(3)(4)两种情况的H(j?)的逆傅立叶变换(冲激响应)不满足因果、稳定性(参见题17中介绍的单边傅立叶变换对关系)。可以选择(不是唯一的)
H(j?)?22?j?22?322?j?22?3或H(j?)? ?1???1?3?j?3?j?3?j?3?j?对应的冲激响应函数分别为
h(t)??(t)?(22?3)e?3t，h(t)???(t)?(22?3)e?从冲激响应的能量来看，(1)相对于(2)要小。因此选择H(j?)?3t
22?j?22?3。 ?1?3?j?3?j?52?8(2) GX(?)?(??3)/(??8)?1?2?8?2?(8)222
RX(?)??(?)?5e?2?88|?|
E[X2(t)]?RX(0)??(0)?5??
2?84．设X(t)=A+BX1(t)+CX2(t),X1(t),X2(t)平稳且联合平稳，求X(t)的功率谱密度函数 解：
RX(?)?E[X(t??)X(t)]?E{[A?BX1(t??)?CX2(t??)][A?BX1(t)?CX2(t)]}?A2?2A(BmX1?CmX2)?B2RX1(?)?C2RX2(?)?BC[RX1X2(?)?RX2X1(?)]
GX(?)?F{RX(?)}?2?[A2?2A(BmX1?CmX2)]?(?)?B2GX1(?)?C2GX2(?)?BC[GX1X2(?)?GX1X2(??)]若两个随机过程互不相关，则
KX1X2(?)?0，RX1X2(?)?RX2X1(?)?mXmX，GX1X2(?)?2?mXmX?(?)
1212
5．设随机过程Z(t)?X(t)cos(?t)?Y(t)sin(?t)，其中?为常数，求：Z(t)的自相关函数与均值函数。 解：
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E{[X(t1)cos(?t1)?Y(t1)sin(?t1)][X(t2)cos(?t2)?Y(t2)sin(?t2)]}?E[X(t1)X(t2)]cos(?t1)cos(?t2)?E[Y(t1)X(t2)]sin(?t1)cos(?t2) ?E[X(t1)Y(t2)]cos(?t1)sin(?t2)?E[Y(t1)Y(t2)]sin(?t1)sin(?t2)?RX(t1,t2)cos(?t1)cos(?t2)?RYX(t1,t2)sin(?t1)cos(?t2) ?RXY(t1,t2)cos(?t1)sin(?t2)?RY(t1,t2)sin(?t1)sin(?t2)
EZ(t)?E[X(t)]cos(?t)?E[Y(t)]sin(?t)
(1) 若X(t),Y(t)联合平稳，则
RZ(t1,t2)?RX(t1,t2)cos(?t1)cos(?t2)?RYX(t1?t2)sin(?t1)cos(?t2) ?RYX(t2?t1)cos(?t1)sin(?t2)?RY(t1,t2)sin(?t1)sin(?t2)EZ(t)?mXcos(?t)?mYsin(?t)
(2) 若X(t),Y(t)联合平稳，且各自平稳、各自的均值为0、RYX(?)??RYX(??)、
RX(?)?RY(?)，则Z(t)平稳
RZ(?)?RX(?)cos(?t1)cos(?t2)?RYX(?)sin(?t1)cos(?t2) ?RYX(?)cos(?t1)sin(?t2)?RY(?)sin(?t1)sin(?t2)?RX(?)cos(??)?RYX(?)sin(??)EZ(t)?0
(功率谱？)
