2014-15学年《微积分A》（本科）复习卷
一、基本题
1x6?2x2?3?________1、lim6。（）
x??2x?3x3?x2sin3x22??sin3x?xsin)? 。2、lim?（2,3） ?xsin??________，lim(x?0x??xxx??x?tankxx?0?3、设f(x)??x在x?0处连续，则k?_____。（4）
2x??e?3x?04、当x?0时，f(x)?2x?ex?2是x的 无穷小。（同阶非等价） 5、设f?x?在x?1处可导，且f??1??2，则limh?0f(1?2h)?f(1?h)= 。(4)
h6、设y?x2lnx，则y??x?1?____。(3)
x2?17、设y?2，则dyx?1?_______。(dx)
x?18、函数f(x)?sinx?cosx在[0,2?]上的最大值为 。(2) -9!) 9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?10)，f?(0)? ，f?(1)? 。(10!，10、函数y?f?sinx?，则dy? 。(f?(sinx)cosx)
211、函数y?x?x?2在区间?0,1?上满足拉格朗日中值定理结论的点?? 。(??1) 212、函数f?x?在点x?x0极限存在是连续的 条件；(必要）
连续是可导的 条件；（必要）可导是可微分的 条件。（充分必要） 13、计算下列积分
111332cosxdxsinxdx(x?cos2x)?c） sinx?sinx?C； （ ） ； （??223x2?1?x2dx； （1?arctanx?C）
dx15ln） ； （?02x?323113x1223xxcosx?2dxe?Csin(x?2)?C） ； （） ； （edx????322sin2xdx； （1?1cos2?C） elnxdx （1） ex?cosex(dx) （sin(ex)?C） ???x2132xx第 1 页 共 5 页
?1?1?x2013cos2x?1?x2dx?_____________。 （
??） 2d33x?1dx?________dx?1dx?______；_ _ ； ??dxdx3?1dx?______；_ _ ?dx3?1?______；_ _ ?dxdx3d13t?1dt?______；_ _ x?1dx?______。_ _
dx?1dx?015、
（x3?1x3?1dxx3?1?Cx3?1?Cx3?10）
?x16、若?f(x)dx?x2e?x?C，则f(x)?_____________。 （x(2?x)e）
17、f?x???x02（e?1,e?1） etdt在?1,2?上的最小值为______，最大值为______。
18、已知f(2)?221及?f(x)dx?1，则?xf?(x)dx______。（0）
002二、计算题 （一）极限与连续
lntan2xex?1?1?1、lim2 2、lim 3、lim?cotx?? x?0xx?0sinx?ln(x?0?lntan3x1?2x)??3e?1x4、lim???x?tan 5、lim(1?sin2x) 6、lim
x?0x??x???12sinx1102e22） （2
1x2x（二）导数与微分 1、设y?e?2xsin3x?2、设y??1?x?sinxln(2x?1)?cos3，求y??0?。 （5)
2x?1sinx]) 1?x ?x??1?，求y??x?。 (y??(1?x)sinx[cosxln(1?x)?3、设sin(xy)?lnx?1?1，求y?(0)。 (e?e2) y?tt?4e2t?3e3tdy?x?3e?e4、设?，求。 () ?tt2t3t?3e?e?dxy?2e?e??x2?2x?3x?05、若f?x???在x?0处可导，求a,b的值。 (a?2,b?3)
x?0?ax?b6、设y?etanx，求dy。（etanx(2tanxsec2x)dx）
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22（三）积分 1、?cotx1xdxx3dxdx 2、 3、sinx??15?4x ?x?1331dx dx 5、 ?exdx 6、?221x(1?lnx)x1?x3x?12xsinxdxdx 8、 9、cosx?1dx 2??0x?x?24、 ?7、 ?10、?121?2x2sinx?arcsin2xdx1?x2 11、
??(??1?cos2x?xsinx)dx
3?x2?10?x?112、设f?x???2x，求?f?x?dx
01?x?3?e?1233311xxx33x?C 2、3xe?6xe?6e?C arctan(xlnx)?C 3、 4、?In1?Inx?C 5、
1221?2sin （1、
6、2?221113 7、lnx?1?lnx?2?C 8、[x2?xsin2x?cos2x]?C 333424162?3?(e?e2)） 9、2[2sin2?sin1?cos2?cos1] 10、 11、2 12、 3323?6
三、应用题 （一）导数应用
1、求函数f(x)?2x3?3x2?6的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 （f(x)在(??,0]?[1,??)上单调增加，在[0,1]上单调减少;
在x?0有极大值f(0)?6，在x?1有极小值f(1)?5; f(x)在(??,]上凸的，在[,??)上凹的，拐点(,1212111)） 222、求函数y?2x?3x2的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 3 （f(x)在(??,0]?[1,??)上单调增加，在[0,1]上单调减少;
在x?0有极大值f(0)?0，在x?1有极小值 f(x)在(??,??)上凹的。）
f(1)??13;
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（二）积分应用
1、设平面图形由曲线y?e?x,x?1,x?3,x轴围成，求此平面图形的面积和这个图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积 。 （A?e?1?e?3,Vx?2、设平面图形由曲线y??2(e?2?e?6) ）
1及直线y?x、x?2所围成，求此平面图形的面积和这个图形绕xx311轴旋转一周所得的旋转体的体积 。（A??ln2,Vx??）
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（三）经济应用
1、已知某产品的成本函数为C(x)?10?5x?0.1x2，收入函数R(x)?10x?0.1x2，写出它的利润函数、边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数。
（L(x)?5x?0.2x2?10,C?(x)?5?0.2x,R?(x)?10?0.2x,L?(x)?5?0.4x）
2、生产某产品的成本函数为C(x)?2500?2x?0.01x2，产量多大时平均成本最低？求出最低平均成本。（x?500,C(500)?12）
3、已知某产品的需求量Q是价格P的函数：Q(P)?200P，计算价格P?1000时的需求弹性。
1（?）
3?13?0.4x；生产x台产品的总成本为4、某商品的销售价p位销量x的函数：p?280（1）求总收入函数R(x)；（2）求总利润L(x)；（3）为使利润最大化，应生C(x)?5000?0.6x2。
产和销售多少产品？（4）最大利润是多少？（5）为实现这个最大利润，产品的定价应多少？ （R(x)?280x?0.4x2,L(x)?280x?x2?5000,x?140,14600,224）
5、假设某产品的边际成本函数为C?(x)?10?x（万元/万台），边际收入函数为R?(x)?25?x（万元/万台），其中产量x以万台为单位。计算：
（1）求产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；
（2）产量为多少时利润最大？
（3）已知固定成本为2万元，求总成本函数和总利润函数？
x2 （6,7.5,C(x)?10x??2,L(x)?15x?x2?2）
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四、证明题
1、当x?0时，?1?x?ln?1?x??arctanx。
2、设f?x?为连续函数，证明:(1)?xm(1?x)ndx??xn(1?x)mdx
0011?0?0 (2)?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx
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