中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ??21?1??1?11??01?1?????1??121=?210?????101?. 3??201???112???110??????? (23) (本题满分11分)
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
?2?x?y,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??
0,其它.?(I) 求P?X?2Y?；
(II) 求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度fZ(z). 【详解】 (I) P?X?2Y??( II) 先求Z的分布函数: FZ(z)?P(X?Y?Z)?当Z<0时, FZ(z)?0; 当0?z?1时, FZ(z)?x?2y??f(x,y)dxdy??dy?(2?x?y)dx?2y12017. 24x?y?z??f(x,y)dxdy
zz?y??D1f(x,y)dxdy??dy?00(2?x?y)dx
?z?213z； 3当1?z?2时, FZ(z)?1???D2f(x,y)dxdy?1??dy?z?111z?y(2?x?y)dx
?1?当z?2时, FZ(z)?1. 故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为
1(2?z)3； 3?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)=FZ?(z)??(2?z)2,1?z?2,
?0,其他.? (24) (数1, 3)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ?10?x??,?2?,??1,??x?1, f(x,?)???2(1??)其他.?0,??其中参数?(0
(I) 求参数?的矩估计量??；
(II) 判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由. 【详解】 (I) E(X)?22?????xf(x,?)dx??1xxdx??dx 02??2(1??)???4?1?1(1??)??. 42411n令 ??X, 其中 X??Xi，
24ni?11解方程得?的矩估计量为: ??=2X?.
2222(II) E(4X)?4E(X)?4[D(X)?E(X)]?4[?D(X)?E2(X)], n而E(X)?2?????1x2x2dx??dx xf(x,?)dx??02??2(1??)2???211???. 36622 D(X)?E(X)?E(X)? ??21111????(??)2 366241215????， 121248D(X)3n?123n?13n?52?E2(X)]???????2, 故E(4X)?4[n3nn12n所以4X不是?的无偏估计量.
222008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 （1）设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数（ ）
?A?0
?B?1 ?C?2
?D?3
（2）函数f(x,y)?arctanx在点(0,1)处的梯度等于（ ） yj
?A?i
?B? -i ?C? ?D? ?j
（3）在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通
解的是（ ）
?A?y????y???4y??4y?0.
?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y????y???4y??4y?0.
?C?y????y???4y??4y?0.
（4）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.
?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
3?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?x???（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A?y??1在正交变换下的标准方
?z???程的图形如图，则A的正特征值个数为（ ）
?A?0.
?B?1. ?C?2.
?D?3.
（7）设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ）
?A? F2?x?.
2 .
?B? F?x?F?y?.
?C? 1???1?F?x????D?
??1?F?x?????1?F?y???.
（8）设随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）
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中国教育在线（www.kaoyan.cn） 中国最权威考研门户 ?A? P?Y??2X?1??1. ?C?P?Y??2X?1??1.
?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. （10）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （11）已知幂级数
在x??4处发散，则幂级数?an?x?3??an?x?2?在x?0处收敛，
n?0n?0?n?n的收敛域为?????????????????. （12）设曲面?是z?4?x2?y2的上侧，则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?（13）设A为2阶矩阵，?1,?2为线性无关的2维列向量，A?1?0,A?2?2?1??2，则A的非零特征值为?????????????????.
2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX??????????????????.
??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）
sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4(16)（本题满分10分） 计算曲线积分
?sin2xdx?2?xL2?1?ydy，其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点
??,0?的一段.
(17)（本题满分10分）
?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
?x?y?3z?5(18)（本题满分10分）
设f?x?是连续函数，（1）利用定义证明函数F?x???f??t0xxd可t导，且
F??x??f?x?；
（2）当f?x?是以2为周期的周期函数时，证明函数G?x??2?0f(t)dt?x?f(t)dt02中国教育在线考研频道 www.kaoyan.cn
