矩阵的运算
（一） 矩阵的线性运算
2特殊乘法:(A?B)2?A2?AB?BA?B2 (AB)?(AB)(A?B)22A B（二） 关于逆矩阵的运算规律
?1?1(1)A(B?1)?BA1(2k)(A??)?1A(3)A(?1T)?A(T?1)(A4)(?n?1)A?1n
k/()（三） 关于矩阵转置的运算规律
TT (1)A(BT)?BATT(2?A)(BT?)B? A（四） 关于伴随矩阵的运算规律
(1)AA*?A*A?AE(2)A*?An?1(n?2)A(3)(A*)*?An?2
(4)(kA)*?kn?1A*若r(A)?n?n,?(5)r(A*)??1,若r(A)?n?1?0,若r(A)?n?2?(6)若A可逆，则(A*)?1?A，(A*)?1?(A?1)*，A*?AA?1A
（五） 关于分块矩阵的运算法则
?AT?AB?(1)????TCD???B?B?B0?(2)?????0C??0?1?1TCT??；DT?0??0?，?C?1??CB??0C????1?0?0???B?1
（六） 求变换矩阵
已知矩阵A，及其特征值?i??1????02?????0???n??Pn?，则APi??iPi其中A?(aij)
求T使得，TAT?1设T??P1P2?a11a12a13??p11??p11??p11?????????1??p21??a21a22a23??p21???1?p21??P?a????p??p??31a32a33??p31??31??31?若有重根则APi??iPi?Pi?1(i?2时)再由T求T?1（七） 特征值与矩阵
（1）
A若可以化成对角型?，则存在矩阵a使得A=a?1?a所以A2=a?1?2a,特征值?A2=?A2；对于An仍然适用。?1
（2）A-1=(a?a?1)?1?a?1??1a因此?A?1/?A
麦克劳林展开式
x2xn(1)e?1?x??2n!2n?1x3x5nx(2)sinx?x????(?1)3!5!2n?1!2nx2x4x(3)cosx?1????(?1)n2!4!2n!x(4)(1?x)??1??x?
?(??1)2!x2??(??1)(??2)3!x3???(??k?1)k?1nn!xn第一章
1.1线性空间：
定义1：设V是一个非空集合，P是数域，在V中定义如下两种计算：
1.加法：对于任意两个元素?,??V ，按照某一法则，总有唯一元素??V 与之对应，则称?为?，?之和，记为?=???。
2.数乘：对于任意一个k?P及任意元素??V按照某一法则，总有唯一的元素??V与之对应，称?为k与?的数乘，记为?=k? 满足以下八种运算规律，该空间为线性空间： 1) ???=???
2) (???)?????(???)
3) 在V中存在一个元素0，使它对任意??V ，都有0??=? 。拥有这一性质的元素称
为零元素
4) 对任意??V，在V中存在相应元素? ，使得???=0，称β为α的负元素，记为-α 5) k(???)?k??k? 6) (k?l)??l??k? 7) k(l?)?(kl)? 8) 1*α=α
1.2线性子空间：
定义：V是线性空间，W是V的一个非空子集，如果W中定义的加法与数乘对应于W封闭构成线性空间，则W是V的子空间。记为W?V 。
充要条件：W对应于V中两种运算都必须封闭、
1.3内积空间
定义：设V是数域P上的线性空间，对于V上的两个向量α和β按照某一法则都有唯一的复数与他们相对应，且具有以下性质（?,?,??V，k?P ）
(1)(?,?)?(?,?);(2)(???,?)?(?,?)?(?,?)(3)(k?,?)?k(?,?)(4)(?,?)?0,当且仅当?=0时，(?,?)=0 称(?,?)为?,?向量的内积
1.4线性变换
定义1：对于线性空间V中任意一个向量α，按照一定规律总存在α’与之对应，则成的原象 。 这一规律为V上的一个变换（映射）。记为：?`??(?),称?`为?的象，?为?`线性变换定义：数域P上的线性空间V的一个变换? 对于任意??V，??V,k?P满足(1)?(???)??(?)??(?);(2)?(k?)?k?(?)
1.5正交变换与酉变换：
定义1：若数域P上的欧式空间（酉空间）V上的线性变换? ，对任意
??V，都有?（?）=? 则称?为V上的正交变换。（酉变换）
酉空间定义：设V是复数域C上的线性空间，对于V上的2个向量x，y如果能给定某种规则，使得x,y对应一个复数（x,y），它能满足以下条件： （1）?x,y?=?y,x?;（2）?x?y,z?=?x,z???y,z?（3）?kx,y??k?x,y?（4）?x,x??0,当且仅当x?0时，?x,x??0.
则称该复数?x,y? 是向量x与y的内积。如此定义了那内积的复数域C上的线性空间叫做酉空间（U空间）。
AH 表示转置共轭向量，即AH=A-T AAH=AHA=E则，A为酉矩阵。
