2011年全国中学生天文奥林匹克竞赛选拔赛理论试题
全国天文奥赛组委会 供稿
I、理论部分（每个年级组5道题，每题20分）
1、（低年组）【恒星观测】
某晚观测发现，一颗赤经α=1h20m05s、赤纬δ=5°15′10″的恒星通过子午圈的时刻为21:33，当时其地平高度为55°10′08″。之后测得一颗坐标未知的恒星上中天的时刻为22:03，当时其地平高度为43°20′25″，问：
（1）观测地的地理纬度是多少？
（2）这颗坐标未知的恒星的赤经和赤纬分别是多少？ 答案：
（1）第一颗恒星“过子午圈”，既可能是上中天也可能是下中天。先考虑上中天，根据其上中天时的地平高度等数据，代入以下公式：
h=90°-|φ-δ|
当地的地理纬度为：
φ=40°05'02\（南（注：？）半球） 或 φ=-29°34'42\（北（注：？）半球）
若它此时是下中天，其地平高度为：
h=|φ+δ|-90°
代入数据可知：φ=±145°10′08″-5°15′10″，即|φ|>90°，结果无意义。表明这颗恒星此时不可能是下中天。
（2）第二颗恒星比第一颗晚30分钟上中天，意味着它的赤经比第一颗大30m，所以第二颗恒星的赤经为：
α2=1h20m05s+30m=1h50m05s
仍然利用（1）中的公式，可以求出第二颗星的赤纬为：
φ=40°05'02\时，δ2=-6°34'33\（天顶以南上中天） 或 δ2=86°44'37\（天顶以北上中天）； φ=-29°34'42\时，δ2=-76°14'17\（天顶以北上中天） 或 δ2=17°4'53\（天顶以南上中天）
2、（高年组和低年组）【木星落山】 请估算（至少是粗略估计），当木星冲日时，在北京延庆学生军训基地（即本次考试地）观测，从木星视圆面下缘与地平相切直到木星视圆面完全消失在地平线下的整个过程（即木星落山）需要多长时间？大气折射对你的计算结果有何影响？假设地球、木星轨道为正圆并且共面，木星轨道半长径为5.2AU，赤道半径为71500 km。 答案：
木星冲日时，离地球的距离为4.2AU，它的视直径为：
d=2×71500km/(4.2 AU)=2.27弧度？（注：2.27exp-4）=46.82\
当木星正好位于赤道上时（δ=0），它的周日视运动的角速度为：
ω0=360°/23h56m4s≈15\
估算时，可以认为任一天的木星视运动角速度都等于ω0，落山时它的周日视运动轨迹与地平线的夹角为90°-φ，需要进行纬度改正。因此在纬度为φ=40°的地方，它落山的时间大致为：
t=[d/sin(90°-φ)]/ω0≈4.1 s
大气折射在地平线附近约为35'，而木星视圆面仅为46.82\，因此大气折射只改变木星的视位置，对落山的持续时间没有影响。如果是太阳（视直径32'左右），则可能会有影响。因为大气折射角随着地平高度而减小，会导致我们看到的地平附近的太阳呈扁圆形（宽度不变，但长度变小，形状大约为32'×26.5'，见
2005年国际天文奥赛实测题），因此北纬40度处的太阳落山时间会略微变短大约30秒。
编者注：实际上由于木星的周日视运动圆与它的赤纬（δ）有关，当δ不为0时，视运动轨迹是个小圆。这时其周日视运动角速度不同于ω0，落山的时间当然有所差别。我们可以根据球面天文学公式推导出任意日期的木星落山时间满足：
t=d/[ω0·(cos2δ-sin2φ)0.5] (1)
木星的赤纬为(-23.5°, 23.5°)，因此在北纬40度处，它的落山的时间为：t≈4.1s~4.8s。大气折射可以改变木星的赤纬δ，从而使得它落山时的视运动圈略有改变，但导致的cosδ变化不超过0.004，t的变化不到0.02秒，完全可以忽略。因此大气折射对木星落山过程没有影响。
（1）式的推导过程比较复杂，已经超出了中学数学水平，参加奥赛的同学不必掌握。当在国际奥赛中再次遇到类似的问题时，可以忽略周日视运动的“小圆”效应，不要在这个问题上过于纠缠。例如2010年亚太地区天文奥赛理论高年组第二题（晨昏蒙影，参见2011年第2期《天文爱好者》），当时有不少学生试图考虑到周日视运动是小圆，花费了很大精力，结果却仍然不对。 3、（高年组和低年组）【黄道】
位于地球某处的观测者，在昨晚的某一时刻观测土星，他注意到这时黄道上的每一点都有一种奇异的性质：这一点和南天极的角距离刚好等于这一点的天顶距。不考虑大气折射，求观测者的地理纬度，并估算他的观测时刻。 答案：
首先要知道，要想黄道上的每一点都满足题意，此时的黄道必与天赤道相交于东、西两点，也就是说观测时间为地方恒星时6h或18h左右（春、秋分时角为6h时），对应的地方时为15h20m或3h20m，显然他是在晚上观测，时间应为3h20m左右。
此刻黄道上正好过上中天的那一点，其天顶距和到南极的距离满足：
z=|φ-δ|=90°+δ
代入δ=±23.5°，可以求出只有：
φ=-90°或φ=43.0°
才满足题意。
所以观测者在北半球，纬度为43°，当时的地方时为3h20m。或者他在南极，这天南极是极夜，任意时刻都能观测，而土星在2011年5月1日的赤纬为-2°左右，南半球可见。 4、（高年组和低年组）【手表辨向】
春分那天，一群北京旅行者在新疆的楼兰古城遗址附近（约为东经90°，北纬40°）迷失了方向，他们决定利用手表辨别方向：先根据经度把手表时间调整成当地的地方时，再按24小时制读出手表上的时刻t，将此时刻换算成小时数并除以2，得到一个数Ｔ。然后把手表平放在手上或者地上，让表盘上的Ｔ刻度对准太阳，这时手表表面12点所指的方向大致上就是北方。有句口诀可以方便记忆：“时间折半对太阳，12点指向是北方。”
已知春分这天，地方时t时刻（以小时为单位）太阳的方位角A（从北点向东起量）满足以下公式：
tanA=tan[(t-12)×15°]/sinφ
φ为当地地理纬度。以t（小时）为横坐标、手表辨向的误差（度）为纵坐标作图，据图求：
（1）手表辨向产生的最大误差大约为多少度？并指出此时所定出的北方比实际方向偏东还是偏西？此时的地方时为多少？北京时间为多少？
（2）如果辨别方向时，他们忘了把手表时间调整成地方时，手表辨向产生的最大误差为多少？最小误差为多少？误差最小时的地方时为多少？北京时间为多少？
（3）假设他们的操作没有任何偏差、手表也走时准确，除了上述误差外，还有哪些天文因素可能导致误差？ 答案：
1）地方时t时刻利用手表辨别方向，t/2刻度指向太阳（方位角为Ａ），北点的方位角为0°，因此12
点刻度与北点的夹角为：
Δ =A-t/2×30°
这就是手表辨向方法产生的误差。Δ为正表示定出的北方偏东，为负表示偏西。如下图所示。
可见误差最大为±12.5°左右，大约发生在当地时间上午9.5h（偏西）和下午14.5h（偏东）。 2）北京时间t时刻，楼兰古城的地方时为：
t+(90°-120°)/15=t-2h
楼兰时间比北京时间晚2小时，也就是说手表平面得向西多转动30°，因此误差最大为-42.5°左右，全天测得的北方都偏西。误差最大时的北京时间大约为11.5h，地方时仍为9.5h。最小误差为-17.5°左右，地方时为14.5h，北京时间为16.5h。
也可以和1）一样进行作图求解。此时楼兰古城所见太阳的方位角为：
tanA=tan[(t-2-12)×15°]/sinφ=tan(15t-30°)/sinφ
手表辨向误差为：Δ =A-t/2×30°，作图如下，横坐标为北京时间，纵坐标为误差。结果与前面相同。
3）题干中计算出的方位角其实是平太阳的方位角，真太阳与平太阳在同一时刻的赤经并不相同，因而方位角也有所区别，这就是天文学上所称的“时差”。时差最大不超过18分钟（η=α?-α平≤18m），它在地平圈上的投影，即为它所导致的手表辨向的误差。显然这个误差很小，最大也只有4.5°。至于大气折射等效应导致的误差，极其微小，可以忽略不计。
5、（高年组和低年组）【分子云】
一团密度为地面大气0.5倍，温度为1200K的氢分子云若能形成恒星，请估算云的大小。 答案：
首先考虑分子热运动速度必须小于逃逸速度，
3KT2GM8?G?R2， ??mR3可以推得
R?9KT，
8?G?m3代入题中所给数值，T?1200K,??0.62kg/m得到R约为200000km。
但这样得出的半径其对应的氢云的质量约为4个地球质量，这种情况是不可能形成恒星的，只能形成行星。
同样如果考虑金斯不稳定性
R?v1
G?其中v是尺度为R的气体球的声速。这样得到氢云的最小半径，其质量仍不足以产生恒星。因此正确的想法是利用最小恒星质量作为判据：
M??0.08Msun（注：大于或等于）
34?Rc?a?M? 3?a?0.5?1.23kg/m3
最后得到Rc?4?10km
6、（高年组）【火星飞船】
从地球发射一艘飞船，它迅速加速到与地球的日心轨道同向的最大速度，因此飞船的轨道是以太阳为焦点的抛物线，掠过地球轨道。假设地球和火星的公转轨道为处在同一平面的圆，地球轨道半径为1AU，火星轨道半径为1.5AU。并且假定在飞船飞行的绝大部分时间里只考虑太阳的引力作用，在飞船与行星相遇时，只考虑行星的引力作用。
6图1：飞船的轨迹（未按比例）。内圆是地球轨道，外圆是火星轨道。
