∴△AEF∽△APQ∽△ABC
S1AE2AE2∴ ??22S1?S2AP（AE?PE）2AE?PE?PE2S1①； 整理得S2=2AEAE2S1AE2AE2同理=， ??222S1?S2?S3AB（AE?PE?PB）（2AE?PE）∵S1＋S3＝S2，
AE2S1S1∴， ??2S1?S2?S32S2（2AE?PE）2（2AE?PE）S1②， 整理得S2=
2AE222AE?PE?PE2（2AE?PE）S1=S1 ①=②即22AE2AE整理得PE2=4AE2， PE=2AE， ∴
PE=2； AE
(3) ∵△AEF∽△ABC，
AE2S1AE2AE2∴=， ??222S1?S2?S3AB（AE?PE?PB）（2AE?PE）∵S3－ S1＝S2，
AE2S1S1∴， ??2S1?S2?S32S3（2AE?PE）2（2AE?PE）S1， 整理得S3=
2AE222AE?PE?PE2（2AE?PE）S1－S1=S1 ∴
2AE2AE2整理得PE2=2AE2， ∴PE=2AE， PE=AE2.
备考指导：(1)证明两条线段的和等于一条线段一般是把长线段分为两段，证明这两段分别与已知的两段相等；（2）当题目中涉及多个量时，根据他们的数量关系用其中一个量表示出其他量，再列式求解，相似、三角函数等都是数量之间互相转化的工具.
24．（本题12分）已知抛物线y＝x2＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C (1) 求抛物线的解析式
(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）
(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长
【思路分析】（1）因为A点在抛物线上，把A点坐标代入抛物线即可求出c的值，从而求出抛物线的解析式.
（2）先在第二象限内取一合适的点E，作出符合题目条件的图形，如答题图，因为题目所求与点E的坐标有关，故想到要构造直角三角形，使其长度能用含m，n的代数式表示.过
点C作CH⊥EF于点H，FG⊥y轴于点G后，很容易发现△EHC∽△FGC，从而利用相似三角形的对应边成比例求n的值，把y=n代入抛物线的解析式，确定出m的取值范围. （3）首先用含t的代数式表示出PB的长度，然后需要表示PQ和QB的长度.根据图形易发现△OPM∽△QPB，利用相似三角形的对应边成比例可表示出PQ的长度，再利用勾股定理求出QB的长度，即可求出△PBQ的周长. 解：（1）把（1,0）代入y=
1211x?c,得c=－1,所以抛物线解析式为y=x2?； 222（2）作CH⊥EF于点H，则，△EHC∽△FGC. ∵E（m,n）,
121m?）, 221又C（0，－），
211∴EH=n+,CH=－m,FG=－m,CG=m2,
22∴F（m,
∵△EHC∽△FGC，
1EHFG2?-m， ?∴，即
12CHCG-mm21∴n+=2,
23∴n=(－2＜m＜0)；
2n?
（3）由题意知点P（t，0）的横坐标为，M（t，∴
121t?），△OPM∽△QPB， 22OPPQ?， PMPBt2?11122t22其中，OP=t,PM=-t,PB=1－t,PQ=,BQ=PB?PQ=,
221?t1?t2tt2?1∴PQ+BQ+PB=++1－t=2.
1?t1?t难点突破：本题中的第（2）小题探索题，作出符合题目条件的图形是突破口，题目涉及点的坐标时，过点作x轴或y轴的垂线，构造出直角三角形，利用相似三角形来解答是解答此类题目一般思路.
备考指导：中考压轴题，基本都是二次函数和几何图形的综合考查，解答方法万变不离其宗：用坐标表示线段，列方程求解.在这两个过程中，相似、三角函数、勾股定理是最常用的运算工具，是连接数形之间的桥梁 .
