数学建模——淋雨模型
昆明学院
组长：王振雨
班级：2013级物理学2班 学号：201317030220
组员： 戴边疆
2013级物理学1班 201317030113
徐艳
2013级财务管理5班
201302160542
一、 问题描述
有一天，你在在路上，天突然下起雨，但你没有带雨具，亦无避雨之处。请问如何在雨中行走才能减少被雨淋湿的程度？试估算当雨滴以45o下落，降雨强度为1cm/h，最大步行速度为5m/s,雨中步行1km的淋雨量。
二、 问题假设
1、 将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，
厚c=0.2m.设跑步距离d=1km，步行最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=1cm/h=1/360000cm/s，记步行速度为v；（以上人体的高宽厚及雨速均为估计值） 2、 认为降雨为均匀的，风速风向不变；
3、 只考虑二维问题，即正面迎风及背面迎风两种状况； 4、 认为人在奔跑时沿直线做匀速运动，地面平坦
三、 建立模型
人的淋湿程度可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积，设为Q。
则Q=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t） 时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） 由以上得：
淋雨量（Q）=ω×S×d/v
开始建立模型：
1、 正面迎风。
若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）
设雨从迎面吹来时与人体夹角为?. ，且 0°
（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为u?sin?且方向与v相反，故人相对于雨的水平速度为：
?u?sin??v?
则前部单位时间单位面积淋雨量为：
?（?u?sin??v）/u
又因为前部的淋雨面积为：a?b，时间为： d/v
于是前部淋雨量Q2为 ：
Q2??a?b??????u?sin??v?/u???d/v?
即：
Q2?a?b?d???u?si?n?v?/?u?v? ①
（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为???cos??，顶部面积为?b?c? ，淋雨时间为?d/v? ，于是顶部淋雨量为：
V1?b?c???d?cos?/v ②
由①②可算得总淋雨量 :
Q?Q1?Q2?b?c???d?cos?/v?a?b?d????u?sin??v?/?u?v?
2、 背面迎风。
若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）
设雨从背部吹来时与人体夹角为?， 且0°＜?﹤90°,建立a，b，c，d，u，?，?之间的关系为：
（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 Q3 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：
Q3?b?c???cos???d/v??b?c???d?cos?/v
（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：u*sinα-v,设v≤u*sinα.因为如果大于的话，那么雨就不会淋到人的身上 。 从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：
ω*（u*sinα-v）/u, v≤u*sinα
可得人背部淋雨量为：Q4 =abdω*（u*sinα-v）/u
而总淋雨量：Q`=Q3＋Q4
从而有：Q= b?c???d?cos?/v + abdω（u sinα-v）/u ③
四、 模型分析与求解
由正面迎风时V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以
及雨线与人的夹角（?）两者有关。将Q化简：
Q=cos?/3600v+sin?/480v+1/1920
从上式看，当保持?不变时，v越大，Q越小。 因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。 当θ=45°，代入数据，解得：
Q＝0.0014025(m3)≈1.403（L）
由背面迎风时V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（?）两者有关。 当θ=45°，代入数据，解得：
Q=0.0012134（m3）≈1.213L
所以不论雨从正面还是背面，都是跑得越快，淋湿程度越低。
