则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为
att?1s?dvdtet?ddt2(vx?vy)et?3.58m?set
2?222?2an?a?aten?1.79m?sen
(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为
v?vx?vy?4.47m?sv222?1
则ρ?an?11.17m
1 -13 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？
题 1-13 图
分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．
此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．
解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt, y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
x?v2yg?452m
(2) 视线和水平线的夹角为
θ?arctanyx?12.5
o(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
α?arctanvyvx?arctangtv
取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为
gt???2at?gsinα?gsin?arctan??1.88m?s
v??gt???2an?gcos??gcos?arctan??9.62m?s
v??1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，
柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为
他随即以仰角??5冲出，飞越跨度达57 m，安全着陆在西岸木桥上，v0?150 km?h?1 ，
?求：
题 1-14 图
（1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？
（2） 若起飞点高出河面10 m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？ （3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？
分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动
来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中ym和xm分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度. 解 在图示坐标系中，有
?)t （1） x?(v0cos?）t? y?(v0sin12gt2 （2）
vy?v0sin??gt （3）
(1) 由式（1），令x?xm?57 m，得飞跃时间
tm?xmv0cos??1.37 s
（2）由式（3），令vy?0，得飞行到最大高度所需时间
’tm?v0sin?g
将t’代入式（2），得飞行最大高度 mym?v0sin?2g22?0.67m
则飞车在最高点时距河面距离为
h?ym?10 m?10.67 m
（3）将tm?1.37 s 代入式（2），得西岸木桥位置为
y = - 4.22 m
“-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.
讨论 本题也可以水面为坐标系原点，则飞车在 y方向上的运动方程应为
y?10 m + (v0sin?)t?12gt
21 -15 如图所示，从山坡底端将小球抛出，已知该山坡有恒定倾角??30?，球的抛射角ｓ，忽略空气阻力，问球落在山坡上处离山坡??60，设球被抛出时的速率v0 ＝19.6 m·
底端的距离为多少？此过程经历多长时间？
?-1
题 1-15 图
分析 求解方法与上题类似，但本题可将运动按两种方式分解，如图（a）和图（b）所示.在图（a）坐标系中，两个分运动均为匀减速直线运动，加速度大小分别为-g cos?和-g sin?，看似复杂，但求解本题确较方便，因为落地时有y=0,对应的时间t和x的值即为本题所
求.在图（b）坐标系中，分运动看似简单，但求解本题还需将落地点P的坐标y与x的关系列出来.
解 1 由分析知，在图（a）坐标系中，有
x?[v0cos(???)]t? y?[v0sin(???)]t?121(?gsin?)t （1） (?gcos?)t （2）
222
落地时，有y=0，由式（2）解得飞行时间为
t?2v0gtan30??2.31s
将 t 值代入式（1），得
2OP?x?2v03g?26.1m
解 2 由分析知，在图（b）坐标系中，
对小球 x?(v0cos?)t y?(v20sin?)t?12gt 对点P y??xtan? 由式（1）、（2）可得球的轨道方程为 y?xtan??gx22v2s2?? 0co落地时，应有y?y?，即
xtan30??xtan60??gx22v22?0cos60
解之得落地点P的x坐标为
2 x?3v03g 2则 OP?x0cos30??2v3g?26.1m
联解式（1）和式（5）可得飞行时间
t?2.31s
1）
（2）
3） 4）
（5）
（ （（
