课时提升作业(八)
生活中的优化问题举例
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( ) A.C.
cm B.cm D.
cm cm
【解析】选D.设高为hcm，底面半径为rcm，则h2+r2=400. 又体积V=πr2h，则V=π(400-h2)h， 令V′=0，得惟一极值点h=
，此时体积最大，故选D.
2.(2014·上饶高二检测)若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.设底面边长为x，高为h， 则V=
x2h，所以h=
x2+3x·x-. =
x2+
， .
所以S表=2×所以S′表=当0
，令S′表=0得x=
时，S′表<0； 时，S′表>0.
因此当底面边长为时，其表面积最小.
3.购进原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，则获得利润最大时售价应为( ) A.90 B.95 C.100 D.105
【解析】选B.设售价为(90+x)元时利润为y，此时销售量为400-20x. y=f(x)=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80 =20(20-x)(10+x)，求导得，
当x=5时，ymax=4500(元).即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选B.
4.(2014·青岛高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( ) A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图，设圆半径为x，如果矩形高记作h，那么窗户面积S=x2+2hx， 窗户周长l(x)=πx+2x+2h =x+2x+.
令l′(x)=+2-=0. 解得x=
(负值舍去).
因为l(x)只有一个极小值点， 因此x=
为最小值点.
5.(2014·烟台高二检测)某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A.8 B.
C.-1 D.-8
【解题指南】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用配方法可求最小值. 【解析】选C.由题意，f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1，因为0≤x≤5，所以x=1时， f′(x)的最小值为-1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1，故选C. 6.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( ) A. B.
r C.
r D.r
【解析】选D.如图所示，设∠COB=θ，则CD=2rcosθ，梯形的高h=rsinθ， 所以S=
·rsinθ
=r2sinθ(1+cosθ)，
所以S′=r2[cosθ(1+cosθ)-sin2θ] =r2(2cos2θ+cosθ-1).
令S′=0得cosθ=-1(舍去)或cosθ=. 即当cosθ=时，梯形面积最大， 此时上底CD=2rcosθ=r.故应选D. 二、填空题(每小题4分，共12分)
