1m?1?d?? ?g????Cq??dq??
???1 而德拜模型中??vq，故g????qm?1??m?1
????2e??kBT ?Cg???d?v??kB???kBT????e??kBT?1?2 令
??kT?x，则上式变为 x Cmxm?1v??Tm?1T?exm?1ex?1?2dx?T?xp?ex0ex?1?2dx
在低温时 x??DD?kT?? 则积分
???exxm?10ex?1?2dx 为一个于T无关的常数
故 Cmv?T 对三维 m＝3 Cv?T3
对本题研究的二维 m＝2 Cv?T2 对一维 m＝1 Cv?T
3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U?r???e2r?bra， b为待定常数，衡间距r3?10?100?m，求线膨胀系数。
解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 ??3gkB4?f2r 0 其中：f?1?d2U??2????dr2???，g??1??d3U??r03!??dr3? r0
由平衡条件??dU?e29be28?dr???2?10?0 ?b?r0r0r09r0
?f??2e290b4e21?6e22r3?11?3， g????990b?52e212??02r0r06??r4?4 0r0?3r0 由于 r?3?10?8m ，e?4.806?10?100CGSE
13
平 kB?1.381?10?16erg/K ???13r0kB?1.46?10?5/K 216e3.13 已知三维晶体在q?0附近一支光学波的色散关系为
222? ， 试求格波的频谱密度???? ??q???0??Aqx?Bqy?Cqz22 解：??0???Aqx?Bq2?Cqyz
222qyqxqz???1 则
?0???0???0??ABC 这是q空间的一个椭球面，其体积为?abc，而
43 a??0??A1/2，b??0??B1/2，c?3?0??C1/2
V?L? q空间内的状态密度??q????? ，故椭球内的总状态数N为
(2?)3?2??V4??1? N?????2??33?ABC?1/2?0??1/23/2
1/2dNV?1? 故 ??????2??d?4??ABC?
?0??1/2V????204?ABC
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第四章
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？
答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？
答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式
?n?ekBT NEu可得
n?eN?0.67?1.6?10?191.38?10?23?300=5.682*10-12
15
4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式
v?voe可得
?EakBT
0.1eVv?voe?1.38?10?23?300=2*10*0.02=4*10
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4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
W1?N!
(N?n)!n!同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
W2?N!
(N?n)!n!于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
W?WW12?[N!]2
(N?n)!n!由此而引起晶体熵的增量为
15
?S?kBInW?2kBInN!
(N?n)!n!设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
?F??U?T?S?nw?2kBTIn热平衡时，((N! （1）
(N?n)!n!??F)T?0，并应用斯特令公式InN!?NInN?n，从（1）式得 ?n??F?N?n)T?w?2kBT[NInN?(N?n)In(N?n)?nInn]?w?2kBT[In(N?n)?Inn]?w?2kBTIn?0 ?n?nnn?e2kBT N?n因为实际上N?n，于是得
n/N=Bexp（-W/2kBT）
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是?V?2na 式中a为离子最近邻距离。因为V?2Na为晶体原有的体积，有上式可得
33?w?V2na3n?? V2Na3N4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D?Doe下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：
T/K D/m·s 2-1?EA/kBT
878 1.6*10 ?EA/kBT-201007 4.0*10 -181176 1.1*10 -181253 4.0*10 -171322 1.0*10 -16试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：由公式 D?Doe，可得
当T=878，D=1.6*10时，D01=
4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式
?n?ekBT NEu-20
?n?5?e8.6?10?1000?0.03 可得：对于铜N2.80.3?n?5?e8.6?10?1000?7.247?10?15 对于硅N 16
