然后求解
??x2?x?2?0?x??1. (x?1)x?x?2?0????x?1?02存在域(??,?1]?[2,??)上求x??1的补集，得x?2及x??1. 3.经验体感
解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化.在解题实践中，即会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长期保留价值或借鉴作用的经验.
所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有序的组合，失败也为我们从反面提供有效的有序组合.成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到适合的场合，可以原封不动地把它用上.解题所作的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来.
弗里德曼在《怎样学会解数学题》中认为：“如果我们着手解答一道习题，那么第一件事就想知道：这是到什么题？它是什么形式？属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题类型”.这就需要平时积累经验与类型.怎么积累呢？弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还 “不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案.”这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型.
波利亚也说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征.”“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识”.
例5 设a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0?(3x?1)6， 求a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0.
讲解 将已知与求式逐项对齐，并进行差异分析，
a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0?(3x?1)6
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a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??
可见，消除差异应同时有x6?1，x5?1，x4?1，x3?1，x2?1，x?1，所以取x?1代入已知式，得a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0?(3?1)6?32.
评析 在差异分析观点之下，取x?1就不是一个妙手偶得的一个特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施.这一经验的积累，又与“特殊化”相通，可以用来处理很多数学问题.
例6 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其n前项和.证明：
lgSn?lgSn?2?lgSn?1.
2 1 ○
讲解 对求证式加以变形，可得
2SnSn?2?Sn?1
2 ○
或
Sn?1Sn?2? SnSn?1 3 ○
或
SnS?n?1 Sn?1Sn?2 4 ○
这几个式子，哪一个更有利于求解呢？缺乏数学审美经验的中学生往往选择
2而舍弃○3、○4，其实○3、○4式的左右两边有一种匀称、和谐的结构美，前景也○
3式无非是数列b?更明显，○nSn?1的单调性.由 Snbn?Sn?1a1?qSna1???q SnSnSn立即可以得证.因为，an?0，所以当n增大时，Sn也增大，从而数列bn是
3式是成立的. 单调递减数列，○
同样，用真分数不等式
Sn?1a?qSnqSnS?1??n， Sn?2a1?qSn?1qSn?1Sn?14式成立. 也立即得○
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说明 经验感的一个重要构成是美感，熟谙数学美，就能以美启真、以美寻真，能够从题意中领悟到审美感受，从而产生解题意向.
解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成.题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定式正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为整体的把握及成功思路的预感、预测和预见.
4.情感态度
这里主要指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等.这些非智力因素对于解题的作用，预期对于发明发现的作用是一样的.华罗庚教授说“聪明在于勤奋，天才在于积累.”陈省身教授谈及学习数学的体会时说：“首先是用功，不用功什么也谈不上”.我们说，学生学习数学只有通过自生的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的.
波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用是很重要的.”他强调说：“教学生解题是意志的教育.当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴.如果学生在学校里被有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了.”
例7 已知一元二次方程
(b?c)x2?(c?a)x?(a?b)?0
1 ○
有等根，求证：a,b,c成等差数列. 讲解 有人断言，考虑判别式
??(c?a)2?4(b?c)(a?b)?0
2 ○
运算太麻烦了，应该先观察出方程有一个根x?1，再用韦达定理.
无疑“先观察出方程有一个根x?1”是一个好主意，但认为“运算太麻烦了”却是由于意志的脆弱而浪费了一个也能成功的思路.
1有等根 方程○
2??0 ?判别式○
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?方程[x?(a?b)][x?(b?c)]?0有等根 ?a?b?b?c.
按定义，a,b,c成等差数列.这里好像没有用到什么运算，可题目确实已经解完了.
2式计算也并不麻烦，由 再说，用○
0?(c?a)2?4(b?c)(a?b)
?[?(a?b)?(b?c)]2?4(b?c)(a?b) ?[(a?b)?(b?c)]2 得 a?b?b?c. 这正是等差数列的定义.
例8 已知a7x7?a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0?(1?2x)7，那么
a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1? . 讲解 阅卷中发现，相当一部分考生令x?1得答案为?1，其实应该得到的是
a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??1，
而所求的值，应再减去a0?1，从而，
a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??2
究其原因，是考生一见题型熟悉，没有认清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”.
上例说明，即使有了正确的思路也会由于心理因素而导致失败. 三、基于经验的解题分析
解题分析指对解题过程的专业分析，主要包括解题思路的探求和解题过程的反思.“解题思路的探求” 把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案；而“解题过程的反思”则继续把解题活动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，不
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