1.概述
（1）有限元的概念 将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。
（2）有限元的产生及发展 产生：
在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土木结构分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。由于该类控制方程的求解难以使用已有的解析法，人们转而寻求另一种方法，称为数值方法。该类方法的特点是：进行大量的数值运算，逐步逼近精确解，最终得到能够令人满意的近似解。有限元就是数值解法之一。 发展：
1)20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部分，能够得到连续问题的相当好的解答。
2)1943年，柯兰特（Courant）第一次假设挠曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。
3)1955年，德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论基础。
4)1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。
5)1960年，克拉夫（Clough）在分析弹性力学问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称。
6)1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著
7)我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，等等。
? 从数学角度看，有限元的基本思想是1943年 产生的，但由于当时计算条件限制，
这种方法并没有得到足够重视和发展。
? 从应用角度看，有限元则是在电子计算机出现和发展后开始的。有限元的第一个成
功应用是克拉夫(clough) 等人在分析飞机结构时完成的。1960年克拉夫在“平面应力分析的有限元法”一文中正式使用了“有限元法”这一名称。此后，有限元法及应用得到了迅速发展。
? 从理论上看，有限元是处理连续介质问题的一种普遍方法，其基本理论基础是：基
于变分原理的里兹（Ritz）法。
? 从实践上看，有限元法已广泛应用于许多学科。最初应用在连续体结构力学分析中，
后来已广泛应用于求解流体力学、热传导、电磁场等多个领域。
? 由于其应用的广泛性，并且计算机技术的迅速发展，已经产生了许多商品化的有限
元软件。这些软件使得一般的工程技术人员可以轻而易举地利用有限元方法解决工程计算问题。目前已有几百种有限元软件。
（3）控制方程的概念 求在给定边界条件下某些微分方程的解，这样的微分方程称为控制方程。
（4）有限元的分析过程、步骤，每个步骤的主要内容、相关术语等 1、结构的离散
将待分析的结构从几何上用线或面划分为有限个单元，其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决定。其步骤： ● 建立单元 ● 对单元和结点编号 ● 准备必需的数据信息 ● 建立坐标系 2、 确定单元的位移模式
将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函数，即位移模式或位移函数，用 或 表示，写成：d =Nδ 这里： d— 单元中任意一点的位移矩阵， N— 形函数矩阵
δ— 单元结点位移矩阵。
位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、效率、可靠性。 3、单元特性分析
（1）几何方程：应变与位移之间的关系 ε=Bδ
这里： ε—单元中任意一点的应变矩阵 B—变形矩阵或应变矩阵
（2）物理方程：应力与应变之间的关系（Hooke定律） σ=DBδ=Sδ
这里： σ—单元中任意一点的应力矩阵
D—弹性矩阵，由单元材料的弹性常数确定(弹性模量) S—应力矩阵。
（3）利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程： Kδ=F+FE
这里： F—单元结点力矩阵 FE—单元等效荷载矩阵 K—单元刚度矩阵， 4、建立表示整个结构结点平衡的方程组 KΔ=Pd+Pe=P 这里： K－整体刚度矩阵
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Δ－整体结点位移矩阵 P－直接结点荷载 Pe－等效结点荷载 Pd －整体综合结点荷载矩阵 几个问题说明
1、单元划分：单元划分是建立有限元计算模型的重要步骤之一，它决定了有限元计算的有效性、精度和计算工作量。
? 单元的分类：
一维：如上例的杆单元，以线段表示，两个结点 二维：平面上的多边形，常见有三角形、四边形 三维：空间多面体。
? 单元选择原则： 1）根据求解问题的受力情况 2）根据求解问题的区域的形状
3）单元的密度：在单元类型确定后，单元密度决定了求解精度和速度。 一般单元划分越密，则计算精度越高。但计算量越大。 因此，其密度决定原则为：
? 场变量变化平缓的部分密度低
? 场变量变化剧烈的部分密度高，比如零件应力集中部位，则密度要高。 2、总刚度矩阵的特性
有限元方程组KΦ=F中，总刚度矩阵K为方程组系数矩阵，取决于单元特性，引例中为：
?k11k12k13???1??F1??k??????F?kk212223???2??2???k31k32k33?????3????F3??可知k11?1?k12?2?k13?3?F1令?1?1，?2??3?0，则有k11?F1A1E也就是k11?1?F1L1处发生单位位移所需要的外力。 这说明K11就是使结点
因此，K具有下列特性：
1）对称性：即kij=kji。总刚度矩阵是对称的。
2）稀疏性：显然， kij仅在i、j在同一单元时不为零，否则为零。故K中有大量元素为零。
3）奇异性：考察具体示例时可知，K矩阵总是奇异的。总刚度矩阵的特性对利用计算机求解问题是重要的。比如可以减少存储量、减少计算工作量等，以提高求解速度。
（5）单元刚度矩阵元素的含义、单元刚度矩阵的特性 总刚度矩阵的特性
有限元方程组KΦ=F中，总刚度矩阵K为方程组系数矩阵，取决于单元特性，引例中为：
?k11k12k13???1??F1??k??????F?kk212223???2??2???k31k32k33?????3????F3??可知k11?1?k12?2?k13?3?F1这说明K11就是使结点1处发生单位位移所需要的外力。 因此，K具有下列特性：
1）对称性：即kij=kji。总刚度矩阵是对称的。
2）稀疏性：显然， kij仅在i、j在同一单元时不为零，否则为零。故K中有大量元素为零。
3）奇异性：考察具体示例时可知，K矩阵总是奇异的。总刚度矩阵的特性对利用计算机求解问题是重要的。比如可以减少存储量、减少计算工作量等，以提高求解速度。
（6）有限元的应用领域 ?
有限元法作为一种有效的场变量分析数值方法，随着计算机性能的提高和普及，已经被广泛应用于多个工程领域：包括机械、建筑、矿山、冶金、材料、化工、交通、能源等相关学科设计研究中。 由于其应用的广泛性及有效性，目前已经有大量有限元分析通用软件。许多软件具备了很强的功能，包括完善的前、后处理功能。在工程实践中，大量采用这些通用分析软件来完成分
析任务。
2.弹性力学基础知识 （1）材料力学与弹性力学的区别、联系 1、研究的内容：基本上没有区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件 3、研究的方法：有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
? 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变
形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。
? 弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，
分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。因此，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又
