?x1?x2lnx?ln(x?21?x)?C。
9、
?x3earctanxdx。
(1?x)22tant令x?tant,dx?sec2tdt。于是原式=?t2sec3tesectdt??etsintdt
又
?etsintdt??sintdet?etsint??costdet?etsint?etcost??etsintdt
??etsintdt?1et2(sint?cost)?C从而得：
?x3earctanxdx?12earctanx(x?1)?C
(1?x2)21?x21?x2
第五章 定积分。第1节 定积分的概念与性质
1．充分条件； f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的_充分条件。
a2．
?122?0xdx?12，
??aa?xdx?2a2，
?3证明：?1?esinx?e(x??0,??sinx??),??2dx?e??2?2??0e2。
4． ①
?21x2dx??21x3dx,?x2?x3(x??1,2?)
②
?10xdx??10ln(1?x)dx,?x?ln(1?x)(x??0,1?)
5．解：f(x)是连续函数，所以
?10f(t)dt?A，对等式两边积分得：
?1111，f(x)?x?1。
0f(x)dx??xdx?2?f(x)dx??f(x)dx?1000?2xt6．证明：右边??x0??0f(u)du?dt?(t?t0f(u)du)0??x0tf(t)dt??x0(x?t)f(t)dt?左边。第2节 微积分的基本公式 x1． 填空：①
ddx? 0ln(1?t)dt?ln(1?x)；d x2 ②
dx? 1sin(3t)dt?2xsin(3x2)
2．
?3dx3arctanx)?1?31x2(1?x2) ?(?1x?3??112
?3?3、原式=
?2cos0xdx??2?cosxdx??2?3?cosxdx?4
22x24、lim?0costdt?limcosx2x?0ln(1?x)?1
x?01
17
(xt222ex22xt25、lim?0edt)?lim?x0et2dtlim?0edtlim2ex2x????x2t2dtx???e2x2?x???ex2?x???2xex2?0
0e6、lim1111n??(n?1?n?2???n?n)?lim1n??n(1?11?1?1?12???)?1101?xdx?ln2。
n1?n7、F?(x)?xe?x2?0?x?0,?x?0为函数的极小值点，极小值为零。
8、f'(t)?lnt(t)?121t?f2lnt?C?f(x)?2ln2x
f(x)(x?a)?x9、 F'(x)??af(t)dtx)(x?a)?f(?)(x?a)(x?a)2?f((x?a)2?0。
第3节 定积分的换元法和分部积分 1．
?edxlnxe1l
1x(2?ln2x)?12arctan21?2arctan2?12、
dxx10ex?e?x?arctane0?arctane??4
3313、
?x2?2(x?1)2)30x?1dx?(23(x?1)0?83
1?4、
?20x1?x2dx??220sintcos2tdt??16
??5、
?21?cos2xdx?22；
???22sinxdx?22016、
?12?sinx1?1?44?x2dx?0dx?24?x23?
7
?b(dx,?bf(a?b?x)dx???af(t)dt??bafa?b?x)dx,t?a?b?x,dt??abaf(x)dx。
??8、
?40xsinxdx??(xcosx?sinx)410?2?2(1?4)。9、?ln2?x0xedx?2(1?ln2)
?10、
?3x??sin2xdx??(xcotx?lnsinx)3???3??149?4?2ln32
4?e(lnx)2dx?e?22211、
。12?110f(x)dx??01?xdx?ln3。13、f(0)?2.
第4节 反常积分1．充要条件。 ??2．
?dx???x2?2x?2????dx??(x?1)2?1arctan(x?1)??????。
18
3、
???0xe?2xdx??12xe?2x??0?14e?2x??01?14。
4、
??111?x2(2x?1)20dx?arcsinx10?1?2。5、?lnxdx?xlnx010?x10??1
6、
102dx??2??2x?102x?12??0dx?1111，发散。
7、讨论积分In??xe??0n?x??10??0nxn?1e?xdx?nIn?1?????n!I0?n!。
??8、解：注意到
???11?x1?x11??lnx?lnt1lntlnx。故dx??(?)dt??dt2?01?1/t2t2?01?t2?01?x2dx?0。
1?x1?lnx1?x2?lnx2dx?lnx2dx。对第二个积分作倒代换有
综合练习
1． D： P?M?N。2． A。3．A。
4．
1?2pp???np?1pn5、 lim
1?2???n?k?????， limp?1n??nnk?1?n?1npppp??10xdx?p1p?1。
1x?ax?a?xaf(t)dt?limf(x)1x?a?f(a)，
?6、令x?asint,?201?cost?sintdt???2dt??0sint?cost2?sint?costcost????20??dt?? ?sint?cost?4cost?sint?/2?7、
?211?cos20xdx??2secsec22x?0x?1dx??2d(tanx)tan20x?2?1?tanx?arctan??22???0?22。
8．f(x)?0，所以F?(x)?f(x)?1f(x)在[a,b]上单调。于是F(x)?0至多有一个根。又?2?0?,Fx()F(a)?0,F(b)?0，由零点定理知F(x)?0至少有一个根，综上所述F(x)?0在(a,b)内有且仅有一个根。
9、证明：不妨假设g(x)?0。因f(x)?C[a,b]，所以在[a,b]存在最大值和最小值m,M，即有m?f(x)?M，
m?g(x)dx?ab?babaf(x)g(x)dx?M?bag(x)dx,
因此，m??baf(x)g(x)dx?M。由介值定理知存在??[a,b]使得
g(x)dx??
baf(x)g(x)dx?f(?)??g(x)dx。
ab19
10．由于[f(x)?tg(x)]2?0，所以
0??ba[f(x)?tg(x)]dx?2?baf(x)dx?2t?f(x)g(x)dx?ta2b2?ba2g(x)dx。
注意到
?bag(x)dx?0，所有判别式
b??4bf2(x)dx?bg2(x)dx?0。 ???2f(x)g(x)dx????a?a?a?2211b这里即得，
?ba22???2|f(x)g(x)|dx????f(x)dx????g(x)dx?。
?a??a?211bb1b②??22?2???2??g2dx?2(Minkowski不等式) [f(x)?g(x)]dxf(x)dx????????a???a??a?b证明：利用结论①易得。 第六章 定积分的应用。1、A?2、y??a?10[x?x(x?a)]dx=
16(a?1)
3x??1??e?xx??1??e，则过点（-1，e）的切线方程为y??ex，此切线与x轴的 交点
为（0，0），A?a?0?1(e?x?ex)dx?2???0edx=[?e?x?x??e22x]?1?[?e420?x]0=
??e2
3、A?4?0ydx=4??asint?3acost(?sint)dt=12a22032?0(sint?sin6t)dt
?12a(33?1?5?3?1?2???)=?a。 4?226?4?228r?a???4、求交点，由?求得交点(a,),(a,?)，由对称性
22?r?a(1?cos?)?A?2[?2012ad??2???12a(1?cos?)d?]=2{a?22221?220?112523?a[??2sin??sin2?]?} =a(??2)。
42242?y?x25、求此两曲线的交点?，得（-1，1），（1，1） 2?y?2?xVx???[(2?x)?x]dx=2??(4?4x)dx =2?[4x??1012241243x]310=
163?。
6、V??a?a[?(b?a?x)??(b?22222a?x)]dx
a222 =???a?a4ba?xdx=8?b??220a?xdx=2?ab。
222222227、S?4?20(xt?)?(yt?)dt=4?20(?3acostsint)?(3asintcost)dt=6a
20
