第一章 有限拍无纹波调节器的设计
计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出数字调节器，使系统达到要求的性能指标。本章介绍的离散化设计是在Z平面上设计的方法，对象可以用离散模型表示，或者用离散化模型表示的连续对象。
1.1 有限拍设计概述
有限拍设计的要求是在系统在典型的输入作用下，经过尽可能少的采样周期后系统达到稳定。并且，在采样点之间没有波纹。有限拍无波纹设计其实是一种时间的最优控制。
图1-1中D（z）是数字调节器模型，由计算机实现，H0(s)是零阶保持器的传递函数。
R(S) + E（Z） _ D(Z) H0(S) G(S) Y(Z) T T 零阶保持器 对象 T 有限拍调节器 图1-1 有限拍随动系统
G(s)是控制对象的传递函数，零阶保持器和控制对象离散化以后，成为广义对象的Z传递函数HG(z)
HG(z)=Z[H0(s)G(s)] （1-1） 有限拍随动系统的闭Z环传递函数Gc?有限拍随动系统的误差Z传递函数
Ge(z)?E(z)?1?Gc(z) R(z)D(z)HG(z) （1-2）
?1?D(z)HG(z)?=
1 （1-3）
[1?D(z)HG(z)]有限拍随动系统的调节器由（1-2）和（ 1-3）可得：
1
D(z)Gc(z) （1-4）
Ge(z)HG(z)随动系统的调节时间也就是系统的误差e(kT)达到恒定值或趋于零所需要的时间，根据Z变换的定义：
E(z)??e(kT)z?k=e(0)?e(T)z?1?e(2T)z?2?e(3T)z?3???e(kT)z?k?? （1-5）
k?0?由式（1-5）就可知道e(0),e(T),e(2T),?,e(kT),?。有限拍系统就是要求系统在典型的输入作用下，当k≥N时，e(kT)为恒定值或e(kT)等于零。N为尽可能小的正整数。 由式（ 1-3）得
A(z?1)E(z)?Ge(z)R(z)?Ge(z) （1-6）
(1?z?1)m 在特定的输入作用下，为了使（1-6）式中E（z）是尽可能少的有限项，必须合理地选择Ge(z)。若选择Ge(z)=(1?z?1)MF(z) M≥m
F(z)是z?1的有限多项式，不含有（1-z?1）因子。则可使E（z）是有限多项式。
当选M=m，且F（z）=1时，不仅可以使数字调节器简单，阶数比较低，而且还可以使E（z）的项数较少，因而调节时间ts较短，据此，对于不同的输入，可以选择不同的误差Z传递函数。
有限拍设计的方法、过程及其结构虽然简单明了，但是在设计的过程中我们还是要注意到以下问题：
（1）有限拍系统对输入形式的适应性差； （2）有限拍系统对参数的变化很敏感； （3）采样频率的上限受到饱和特性的限制；
（4）有限拍系统不能保证采样点之间的误差为零或恒值，系统存在纹波，纹波对系统的工作是有害的。
故为保证采样点之间的误差为零或恒值，需进行有限拍无纹波的设计。
1.2 有限拍无纹波设计
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，
2
也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。波动是零阶保持器的输入e2(kT)的波动造成的。有限拍无纹波设计就是要求当k≥N时，e2(kT)保持恒值，或为零，N为某正数。
由于 E2(z)?D(z)E1(z)?D(z)GeR(z)。若选定D(z)Ge(z)是z?1的有限多项式，那么，在确定的输入作用下，经过有限拍，e2(kT)就能达到某恒定值，而且能保证系统的输出没有纹波。
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波。
1.3 有限拍无纹波设计实例
有限拍无波纹随动系统如图1-2，对象特性G(S)=10/S(1+0.1S) 采用零阶保持器，采样周期T=0.1S,设计单位阶跃输入时有限拍无波纹调节器D(Z)：
R(S) + E（Z） _ D(Z) H0(S) G(S) Y(Z) T T 零阶保持器 对象 T 有限拍调节器
图1-2 有限拍随动系统
广义对象的Z传递函数
HG(z)?(1?e?TS)?0.368z?1(1?0.717z?1)10?Z? ?=?1?1ss(0.1s?1)(1?z)(1?0.368z)??
（1-7）
Gc?z??z?1?1?0.717z?1??a0?a1z?1???选择 ? ?12?1Ge?z???1?z1??b0?b1z???Gc(z)中z-1和1+0.717z-1是由于HG(z)中含有z-1因子和零点z=-0.717，Ge(z)中(1-z-1)2是由单位速度输入决定的。而Gc(z)中(a0+a1z-1)的项和Ge(z)中的(b0+b1z-1)项是为了使Ge(z)和Gc(z)的阶次相同，且使式子Gc(z)=1-Ge(z)成立。由式（4-34）可
3
得
z?1?1?0.717z??a?10?a1z?1??1??1?z??b?120?b1z?1?
解方程，可得
a0=1.408，a1=-0.826，b0=1，b1=0.592 单位速度输入时，有限拍无纹波调节器
Gc?z?D?z??Ge?z?HG?z??3.826?1?0.5864z?1??1?0.368z?1?
?1?z??1?0.592z??1?1?12E2?z??D?z?Ge?z?R?z??3.826?1?0.5864z?1??1?0.368z?1??1?z??1?0.592z??1?1?1?z??1?0.592z??1Tz?1?1?z??12
?0.3826z?1?0.0174z?2?0.1z?3?0.1z?4?由Z变换定义可得
e2(0)=0 e2(T)=0.3825 e2(2T)=0.0174
e2(3T)=e2(4T)=e2(5T)=…=0.1
系统三拍以后，即k≥3，e2(kT)=0.1，所以系统的调节时间ts=3T=0.3s，并且可保证系统的输出是无纹波的。
与有纹波有限拍系统一样，按单位速度输入设计的有限拍无纹波系统，当输入为单位阶跃函数时，调节时间ts=3T=0.3s，超调量σp相当大。
为了作出有限拍无纹波系统的输出相应，（包括采样点之间的输出值），可以用广义Z变换或扩展Z变换求出Y?z,???Ge?z?D?z?HG?z,??R?z?然后求出相应的y(t)。图4.13表示有限拍无纹波系统的输出响应。
由例4.4可以看出，为了消除纹波，系统的调节时间加长或者调节性能变坏。有限拍无纹波设计，仍然只是针对某种类型的输入信号。当输入型式改变时，系统的动态性能通常变坏。
4
