C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
8．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么( )
aA．小球运动的角速度ω＝
R
B．小球在时间t内通过的路程为s＝taR
RC．小球做匀速圆周运动的周期T＝ a
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R 1 2 3 4 5 6 7 8 题 号 答 案 9.如图8所示 图8
A、B、C分别是地球表面上北纬30°、南纬60°和赤道上的点．若已知地球半径为R，自
转的角速度为ω0，求：(1)A、B两点的线速度大小． (2)A、B、C三点的向心加速度大小之比．
10.如图9所示，
图9
甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径 为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物 体匀速圆周运动的向心加速度．
11．飞行员、宇航员
图10
的选拔是非常严格的，他们必须通过严格的训练才能适应飞行要求．飞行员从俯冲状态 往上拉时，会发生黑视．第一是因血压降低，导致视网膜缺血；第二是因为脑缺血．为 了使飞行员适应这种情况，要在如图10所示的仪器中对飞行员进行训练．飞行员坐在一
个在竖直平面内做半径为R＝20m的匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受到的加速度an
＝6g，则转速需为多少？(g取10m/s2)
第5节 向心加速度
课前预习练
1．变速 加速度 圆心
v2
2．速度方向 快慢 ω2r
r
3．D [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速曲线运动，A、B错；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向时刻在改变，且加速度的大小描述了做匀速圆周运动的物体线速度方向变化的快慢，故C错，D对．]
4．C 5.C 6.CD
v2
7．A [乘客随列车以360 km/h的速率沿半径为2000m的圆周运动，向心加速度a＝r
2100＝m/s2＝5 m/s2，A对，B错；乘客随列车运动时的速度大小不变，方向时刻变化，C、2000D错．]
课堂探究练
1．B [向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故选B.] 点评 由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢．
2．A [向心加速度方向始终指向圆心，与速度方向垂直，方向时刻在变化，故选项A正确，B错误；在匀速圆周运动中向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故选项C、D错误．]
3．D [研究三个物理量之间的关系时，要注意在一个量一定时，研究另两个量的关系，
v2
比如a＝只有在r一定的前提下，才能说速度v越大，加速度a越大．]
r
4．A [由图象知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定
k
质点P的向心加速度ap与半径r的积是一个常数k，即apr＝k，ap＝，与向心加速度的计r
2v
算公式ap＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝k，大小不变，A选项正确；同理，
r
知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝k′(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确．]
v2
点评 正确理解图象所表达的物理意义是解题的关键，搞清向心加速度公式an＝和
r
2
an＝ωr的适用条件．
5．(1)12.7m 20m/s (2)0 0 (3)15.7 m/s2
解析 (1)经2s的时间，物体通过的路程s＝10×2m＝20m，即物体通过了半个圆周，
40
此时物体的位置与原出发位置关于圆心对称，故其位移大小x＝2r＝m＝12.7m，物体的速
π度变化大小Δv＝2v＝20m/s.
(2)经4s的时间，物体又回到出发位置，位移为零，速度变化为零． (3)物体的向心加速度大小 v2102
a＝＝m/s2＝15.7 m/s2
r40
2π
点评 ①速度变化量是矢量，它有大小，也有方向．当物体沿直线运动且速度增大时，Δv的方向与初速度方向相同；当物体沿直线运动且速度减小时，Δv的方向与初速度方向相反，如图所示：
②如果物体做曲线运动，我们把初速度v1移到末速度v2上，使v1、v2的箭尾重合，则从v1的箭头指向v2箭头的有向线段就表示Δv，如图所示．
6．A [因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边
v2
缘各点的线速度大小一定相等．在大轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，
r
aQ
方法总结 涉及传动装置问题时，先找出哪些点线速度相等，哪些点角速度相等，然后
v2
相应地应用an＝、an＝ω2r进行分析．
r
v2
7．C [因皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，根据向心加速度公式：an＝，
r
可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1. B点、C点是固定在一起的轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式：2
an＝rω，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.
所以aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.]
v22
方法总结 (1)向心加速度的公式an＝rω＝中，都涉及三个物理量的变化关系，因此r
必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系．
(2)对于皮带传动、链条传动等装置，要先确定轮上各点v、ω的关系，再进一步确定向心加速度a的关系．
8．100 200
解析 由题意知，滑轮边缘上的点的线速度与物体的速度相等，由推论公式2ax＝v2，得v＝2m/s.又因v＝rω，所以ω＝100 rad/s，an＝vω＝200m/s2.
方法总结 抓住同轮边缘各点同一时刻线速度的大小相等，且与物体下降的速度大小相等，再由匀变速运动的规律分析相关问题．
9．0.16m/s2，方向指向圆心
解析 由an＝rω2得an＝0.01×42m/s2＝0.16 m/s2. 课后巩固练
1．BD [做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻改变，所以必有加速度，且加速度大小不变，方向时刻指向圆心，加速度不恒定，因此匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确．]
a2．D [由a＝ω2R，v＝Rω，可得ω＝，v＝aR，a＝ωv，即A、B、C正确；又
R
2πaR由T＝与ω＝得T＝2π，即D错误．]
ωRa
3．AD [地球自转，角速度恒定，据a＝ω2r知，a∝r，故A、D正确．]
2π2π
4．D [速度变化率的大小指的是向心加速度的大小，an＝ω2r＝ωv＝v＝×4m/s2
T2
2
＝4π m/s，D正确．]
5．B [匀变速运动指的是加速度不变的运动．据斜抛运动、平抛运动及竖直上抛运动的定义可知，三种运动中均是只有重力作用，运动的加速度都是重力加速度，即这三种运动都是匀变速运动，而匀速圆周运动的加速度方向指向圆心，故此加速度时刻在变化，匀速圆周运动属于变加速运动，符合题意的选项为B.]
6．D [由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶
vc22??va2v21c
vc＝1∶2，A错；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错，D
ra2r8r8
vava
ωara2r1
对；＝＝＝，B错．]
ωcvc2va4
rcr
7．CD [根据皮带传动装置的特点，首先确定b、c、d三点处于同一个整体上，其角速度相同；a、c两点靠皮带连接，其线速度大小相等．设a点的线速度为v、角速度为ω，
ω
则v＝ωr，所以c点的线速度大小为v＝ω′2r，可求c点的角速度ω′＝.根据向心加速度
2
11
的公式可求a、b、c、d的向心加速度分别为a1＝ω2r、a2＝ω2r、a3＝ω2r、a4＝ω2r，故正
42
确选项为C、D.]
v2a2
8．ABD [由a＝Rω可得ω＝；由a＝可得v＝aR，所以t时间内通过的路程
RR
24πRs＝vt＝taR；由a＝Rω2＝2·R，可知T＝2π，故C错；位移由初位置指向末位置的有
Ta
向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确．正确选项为A、B、D.]
31
9．(1)ω0R ω0R
22(2)3∶1∶2
31
解析 (1)A、B两点做圆周运动的半径分别为RA＝Rcos30°＝R，RB＝Rcos60°＝R
22
所以A、B两点的线速度大小分别为
31
vA＝ω0RA＝ω0R，vB＝ω0RB＝ω0R.
22
(2)A、B、C三点的向心加速度大小分别为
32
aA＝ω2ωR 0RA＝20
12
aB＝ω2R＝ωR 0B
20
aC＝ω20R
所以aA∶aB∶aC＝3∶1∶2. 910.π2g 8
解析 设乙下落到A点的时间为t，则对乙满足
12RR＝gt2，得t＝，
2g
3
这段时间内甲运动了T，
4
32R即T＝① 4g
4π22
又由于an＝ωR＝2R②
T9
由①②得：an＝π2g.
8
11．0.28r/s
解析 设转速为n，由an＝Rω2＝R(2πn)2得
6×10ann＝r/s 2＝4πR4×3.142×20＝0.28r/s.
