同余问题 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上
的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52
小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：
（mod7） “
”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质
（1）反身性。）
（每个整数都与自身同余，称为同余的
（2）若称性）
，那么（这称作同余的对
（3）若
称为同余的传递性）
，，则（这
（4）若（
，，则
）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，
同余还有一个非常有趣的现象：
如果
,那么定能被k整除）
（的差一
下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例题1：
求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1：
1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 3、求879×4376×5283除以11的余数。
例2：
用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a
所得的余数相同，所以
，
，说明a是以上三个数中任意
两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31
练习2：
1、自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？
自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？
因为16520—14903=1617=3×7的平方×11
