UA-UB=_____________，AB弧中点的场强大小E＝________________。 4．竖直平面内圆周运动的临界问题：
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。
如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通
mg O v2过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即mg?m，则有临
R界速度v?图3-7
gR。只有当v?gR时，小球才能通过最高点。
如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样v?N mg O gR就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当
gR时，球和杆之间无相互作
v
图3-8
可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。
例题3.（99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A.a处为拉力，b处为拉力 B.a处为拉力，b处为推力 C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力
解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a、b两点时，所受的合力都为指向O点。
当小球运动到a点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向O点，则要求杆必对小球施竖直向上的拉力。
当小球运动到b点时，小球受到竖直向下的重力mg的作用，当球的速度较小时（小于gl，l为杆的长度），mg大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于gl），mg小于球做圆周运动所需的向心力，此时要球杆对小球放
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a 图4-4 O b
竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球在b点时所需要的向心力。因此小球在b点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b点时的速度大小。 综上所述，本题的正确选项为A、B。 练习
7.如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。一光滑小球从开口A处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（ ）
A.球在最高点时对管的作用力为零 B.小球在最高点时对管的作用力为mg
C.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大 D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大
8. 如图3－13所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A。今给它一个水平初速度v0?A.沿球面下滑至M点
B.沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动 C.立即离开半球面做平抛运动 D.以上说法都不正确
5．有关圆周运动问题的分析思路
圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。解决有关圆周运动问题的思路是：
ⅰ．确定研究对象；
ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ⅲ．对研究对象进行受力分析；
ⅳ．在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解；
ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程；
若过程中涉及能量问题一般还要列出动能定理或机械能守恒方程，然后再解方程，并讨论解的合理性。
O′ R A 6 / 11
O 图10
H R 图3-13
图3-14 A O v gR，则物体将（ ）
m v0 M H/2
例4．（09广东）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。 解析：物块受力如图所示
①由平衡条件得 N-mgcosθ=0，f-mgsinθ=0 其中sin??HR?H22
得摩擦力为 f?mgsin??mgHR2?H2mgRR?H22 N θma 支持力为 N?mgcos??②这时物块的受力如图所示
图10
mg
ta?n?由牛顿第二定律得 mg得筒转动的角速度为
m?aR2m? 2??2gH2gtan? ?RR例5．（07山东卷）(16分)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为μ=0.5。A点离B点所在水平面的高度h=1.2m。滑块在运动过程中始终末脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6,cos37°=0.8。
(1)若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落?
(2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。 (3)从滑块到达B点时起．经0．6s正好通过C点，求BC之间的距离。 解析：(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，
ω m R A h 53° C 37° B 图
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根据牛顿第二定律，可得：μmg=mω2R ① 代入数据解得: ω=
?g=5rad/s ② Rh1122?mvS?mvA ④
sin53?22(2)滑块在A点时的速度:vA=ωR=1m/s ③ 从A到B的运动过程由动能定理:mgh-μmgcos53°-在B点时的机械能:EB=
12mvS?mgh??4J ⑤ 2(3)滑块在B点时的速度:vB=4m/s ⑥ 滑块沿BC段向上运动时的加速度大小:a1=g(sin37°+μcos37°)=10m/s2 ⑦ 返回时的加速度大小:a2=g(sin37°-μcos37°)=2m/s2 ⑧
vv1BC间的距离:sBC=S?a2(s?S)2=0.76m ⑨
2a12a19．（09安徽）（20分）过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.20，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。
第一圈轨道
第二圈轨道
R1 B
L1
10. （06重庆）(20分)(请在答题卡上作答)
如题25图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小
L
第三圈轨道
R3
D
L
2A v
0
R2 C
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