(1)后项减前项； (2)差为同一个常数．
判断下列数列是否为等差数列？ (1)an＝3－2n； (2)an＝n2－n.
【解】 (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2是同一个常数， ∴{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是同一常数， ∴{an}不是等差数列.
等差数列的证明 41
已知数列{an}满足：a1＝4，an＝4－(n≥2)，bn＝.
an－1an－2
求证数列{bn}是等差数列； 【思路探究】
11
－＝常数→
an＋1－2an－2
bn＋1－bn＝常数→数列{bn}是等差数列 【自主解答】 因为an＝4－
4an－1
(n≥2)，
42?an－2?
所以an＋1－2＝2－＝，
anan
1an11
所以＝＝＋(n≥1)，
an＋1－22?an－2?2an－2故
111
－＝(n≥1)，
an＋1－2an－22
1
即bn＋1－bn＝(n∈N*)．
2所以数列{bn}是等差数列．
1．本例中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化． 2．证明数列{an}为等差数列的方法：
(1)证明an＋1－an为同一个常数d(n≥1，n∈N*)； (2)证明an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
111
已知三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列．求证，，成等差数列．
a＋ba＋cb＋ca2＋c2
【证明】 ∵a，b，c成等差数列，∴b＝. 2
2
2
2
2
∵＝＝
b＋c＋a＋b11
＋＝ a＋bb＋c?a＋b??b＋c?2b＋a＋c
ab＋ac＋b2＋bc2b＋a＋c
a2＋c2ab＋＋bc＋ac
22?2b＋a＋c?
2ab＋a2＋c2＋2bc＋2ac2?2b＋a＋c?
2b?a＋c?＋?a＋c?22?2b＋a＋c?2
＝，
?a＋c??2b＋a＋c?a＋c111，，成等差数列． a＋ba＋cb＋c
＝＝＝∴
灵活设元求解等差数列 已知四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之
积为40，求这个等差数列．
【思路探究】 若设四个数分别为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，列出方程组可以求解，但解方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则解方程时会很简单．
【自主解答】 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
??a－3d?＋?a－d?＋?a＋d?＋?a＋3d?＝26，?
由题设知?
??a－d??a＋d?＝40，?
?解得?3
d＝?2
13a＝，2
?或?3
d＝－?2.
13a＝，2
所以这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
1．本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a，进一步很方便的可求出d.
2．当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.再由题目其它条件建立关于a、d的方程组，通过解方程组求出所要结果．
已知三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数．
【解】 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则由已知，
??a－d??a＋d?＝5a，?a＝0，?a＝9，???得?所以?或? ???a＋a＋d＝8?a－d?，d＝0d＝6.???
所以这三个数分别为0,0,0或3,9,15.
(对应学生用书第22页)
不理解等差数列的定义致误
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证数列{an}为等差数列．
【错解】 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2， 所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2， 所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，
则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．
【错因分析】 a3－a2＝a2－a1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．
【防范措施】 要证明一个数列为等差数列，必须证明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
【正解】 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2， 所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)． 所以数列{an}为等差数列．
1．基础知识： (1)等差数列的概念； (2)等差中项． 2．基本技能：
(1)等差数列的判定(或证明)方法； (2)三个(或四个)数成等差数列时数的设法． 3．思想方法： (1)转化思想； (2)对称设元思想.
(对应学生用书第22页)
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ②一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
