∴
可得8λ+2λ﹣1=0， ∴
2
，…（11分）
（舍去）．
．…（13分）
综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时
点评： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象
能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．
21．（14分）已知F（0），F（0）为平面内的两个定点，动点P满足1﹣1，21，记点P的轨迹为曲线Γ． （Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
，
．
分析： （Ⅰ）根据椭圆的定义，可知点P的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，进而可得曲线Γ的方程； （Ⅱ）将
转化为坐标之间的关系．（ⅰ）设直线AB的方程代入椭圆方程并整
理，利用韦达定理，确定点C的坐标，利用斜率公式可得直线AB与OC的斜率之积为定值；
（ⅱ）先判断直线AB的斜率存在，确定点C的坐标代入椭圆方程，可求k的值，进而分类求出直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．
解答： 解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之和为定值所以点P的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆．…（2分） 又，c=1，所以b=1， 故所求方程为
．…（4分）
，
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）． 由
，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．…（5分）
（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），
代入x+2y=2并整理得，（1+2k）x+4knx+2n﹣2=0， 依题意，△＞0，则 从而可得点C的坐标为因为
，
，
．
，
2
2
2
2
2
，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）
，由
，
（ⅱ）若AB⊥x轴时，
得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时，有n=k，点C的坐标为
．
代入x+2y=2得，
22
，即4k=1+2k，
22
所以（1）当
． …（11分） 时，由（ⅰ）知，
，从而
．
，
故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高所求等腰三角形的面积（2）当
时，又由（ⅰ）知，
．
，从而
．
．…（13分） ，
同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为
综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为
点评： 本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．
