2012 ～2013 学年第 1 学期 数字信号处理 期末考试试卷
学号：________________；姓名：__________________；成绩：___________ 一、填空计算题（每空1分,共25分，其中最后5个是判断题，填写“√”或
“×”）
1．设x[n]是一个如图所示的有限长序列，X(ejω) 为其傅
里叶变换，X(k)为其6点离散傅里叶变换，则可求得X(ej0)= ____0____，X(ej
?π
)=____0____，X(0)= ____0____，X(3)= ___0_____，
2???X(ej?)d?=
2__2??x(n)?20?___； 2. 复指数序列e
j0.5n
(-∞ 2?mnN?e j0.5n u[n]的z变换为_,z?1_、x[n]?ej(0 DFT_X[k]?N?(k?m)_； 3. 单位脉冲响应为h[n]=δ[n]-δ[n-1]的系统是____非时变___(时变、非时变)__ 因果____(因果、非因果)、__稳定___(稳定、不稳定)、___线性___(线性、非线性)系统； z?1x(n)z?12z?14z?18z?11632 图1 某LTI系统的横截型结构 y(n) 4. 某LTI系统的横截型结构如图1所示，该系统的单位脉冲响应为 1?64z?6_2[u(n)?u(n?6)]__，系统函数为__H(z)?___，该系统__不是__（是 1?2z?1n否）线性相位系统； 5. FIR滤波器的窗函数设计法中，阻带衰减取决于____窗种类___，加特定形状窗口条件下，过渡带宽度取决于____窗口宽度____； 6. 一个时间连续的实信号xc(t) ，带宽限制在5KHz 以下，即对于 |Ω|≥2π(5000), Xc(jΩ) =0，以每秒10000个样本的采样率对信号xc(t)进行采样，得到一个长度为N=1000的序列 x[n]= xc(nT)。x[n]的N点DFT记作X[k]。若已知X[400]=1+j，则X[ 600 ]=1-j，k=400对应Xc(jΩ)的连续频率是Ωk= 2??400 0 rad/s，在该连续频率处Xc(jΩk) = 10?4?j10?4 ； 7.任何信号通过线性时不变的离散时间系统不可能产生比输入信号本身更多的频率分量(√ ) 8. 离散时间系统的极点全部在Z平面的单位圆内，则系统一定是稳定的 （×） 9. 因果线性时不变系统的其单位冲激响应未必是正半轴序列 （×） 10. 线性常系数差分方程无论初始状态为何，总是代表线性时不变系统 （×） 11．线性时不变离散时间系统存在系统函数，则频率响应必存在且连续 （×） 二、（12分）某LTI因果系统用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) (a)求系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； (b)写出系统频率响应函数H(ejω)的表达式,说明该系统为低通滤波器还是高通滤 波器？ (c)该系统是否存在因果稳定的逆系统？ 解： (a)两边取 z 变换，得Y(z)?0.9z?1Y(z)?X(z)?0.9z?1X(z)， Y(z)1?0.9z?1， H(z)??X(z)1?0.9z?11.8z?1H(z)?1?，z?0.9。由于系统是因果系统，所以 1?0.9z?1h(n)??(n)?1.8?0.9n?1u(n?1)?0.9nu(n)?0.9?0.9n?1u(n?1). 1?0.9e?j?(b)收敛域包含单位圆。所以H(e)?，零点在z??0.9，极点在z?0.9， 1?0.9e?j?j?所以是低通滤波器。 1?0.9z?1(c) 系统H(z)?，极点在z??0.9，选择收敛域z?0.9，则存在因果稳?11?0.9z1?0.9z?1定的逆系统H(z)?。 1?0.9z?1三、（15分）在图3所示系统中，输入连续信号xc?t?的频谱Xc?j??是带限的， ?1即???N时，Xc?j??=0。离散时间系统Hej?=??0?????c其它。 （a）为了使yc?t?=xc?t?，采样周期T最大可以取多少？ （b）要使整个系统等效为低通滤波器，确定T的取值范围？ （c）若给定采样频率1/T=20KHz，整个系统等效为截止频率为3kHz的理想低通滤波器，确定?c及?N的取值范围。 xc?t?C/DX?ej??Hej???Y?ej??D/Cyc?t?TT 图3 解：(a) 等效模拟低通滤波器，现要求全通，则数字频率的最高频率限制在?c之内，即?N??NT??c，所以T? ?c?N(b) 等效模拟低通滤波器，则数字频率的最高频率大于?c无混叠，或者有混叠， ?2???c混叠大于?c，即?N??NT??c，且2???NT??c，化简得c?T?。 ?N?N1?0.3?，?N的取值使采样后不混叠，且高于(c) ?c??cT?2??3000?320?102?0.3?，或混叠部分在0.3?以上。所以?N??NT??c，(??N)?T?0.3?， T0.3???NT?2??0.3?，即6000???N?34000?。 四、（15分）已知序列x[n]?4?[n]?3?[n?1]?2?[n?2]??[n?3]，其6点离散傅立叶变换(DFT)用X[k] 表示。 (a)若序列y[n]的长度为6，其6点离散傅立叶变换为Y[k] ?W64kX[k],求y[n]； (b) 求x[n]﹡x[n]； (c) 求x[n]④x[n]； 解：(a) 依据Y[k] ?W64kX[k]，y[n]是x[n]循环右移4位的结果，即 y[n]?x(n(?6。 4)?)?4n?[??4]n3?[??5]n?2?[n ]?[1](b) x(n)?x(n)?16?(n)?24?(n?1)?25?(n?2)?20?(n?3)?10?(n?4)?4?(n?5)??(n?6) (c) x[n]④x[n]?26?(n)?28?(n?1)?26?(n?2)?20?(n?3) 五、(10分) 采用Kaiser窗函数法设计一个广义线性相位的数字低通滤波器，经验公式如下 0.1102(A?8.7)A?50?A?8? ???0.5842(A?21)0.4?0.07886(A?21)21?A?50 M?2.28?5??0.0A?21?要求性能指标为： ?p?0.4?，?s?0.6?，通带纹波?1?0.005，阻带纹波 ?2?0.001。 确定该滤波器的参数β、最小阶次及延迟； 解：根据窗函数设计法的对称性，应当设???2?0.001，截止频率，????s??p?0.2?，A??20log10??60dB，所以?c?(?p??s)/2?0.?5M?37，延迟(M?1)/2?18。 ??5.65，最小阶次3 六、（8分）研究一个如图所示长度为N的有限长序列x[n]，实线表示序列在0和N-1之间取值的包络，x1[n]是x[n]后面补N个零的长度为2N的有限长序列。 x[n]的N点DFT用X?k?表示，x1[n]的2N点DFT用X1?k?表示，能否用X1?k?表示得出X?k?，说明理由。 解：解法一：由于DFT，X?k?是DTFT在区间[0,2?]的等间隔采样，所以 X(k)?X(ej?)|2???kN，X1(k)?X(ej?)|kn2NN?1n?0??2?k2N，所以X(k)?X1(2k)。 2N?1解法二：X1(k)??x(n)?W1n?0kn0?k?2N?1。当k?2m为偶数??x(n)?W2N， 时，X1(2m)??x(n)?Wn?0N?12mn2Nmn??x(n)?WN?X(m)，0?m?N?1。所以n?0N?1X(k)?1X(，2k0)?k?N?1。 七（15分）考虑两个实值有限长序列h[n]和x[n]，0≤n≤58，若线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，该线性卷积可用DFT进行计算，即分别计算出H[k]、X[k]，然后通过IDFT计算出y[n]=IDFT{X[k]H[k]}。试问： (a)计算H[k]、X[k]的最小点数是多少？ (b) 若有复数基2-FFT程序可供使用，如何构造一序列z[n]，通过一次调用该程序，并经简单计算得到H[k]和X[k]，写出实现步骤。 解：(a)两个序列线性卷积的长度为N1?N2?1?117，则长度为117的圆周卷积可以计算线性卷积，所以计算DFT的最小点数是117. (b) 步骤1： 序列x(n)，h(n)均补零至长度N?128?27，满足N?N1?N2?1?115，即 n?0,1,,58?x(n)n?0,1,,58?h(n) x(n)??，h(n)?? 0n?59,60,,1270n?59,60,,127??步骤2：由于x(n)，h(n)的N?128?27点DFT分别为X(k)，H(k)，所以构 k=)(X+k)(Hjk)(造序列z(n)=x(n)+jh(n)，计算其N?128?27点DFTZ(k)，得Z。 步骤3：X(k)?Zep(k)?(Z(k)?Z*(N?k))/2 H(k)?Zop(k)?Z(k(?Z)* ?(kN ))/2
