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神奇的斐波那契数列 ——一次数学项目活动课纪实
杭州第十四中学 顾予恒
近年来的国际数学教育改革强调，“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”，应该重视开展独立而积极的数学活动，重视学科综合的学习，重视合作解决问题，要让学生通过动手实践、自主探索与合作交流来学习数学、理解数学。“与之相对应，关于数学教学活动则强调，教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分地从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。
我国新课程改革的目标特别强调“形成积极主动的学习态度”、“倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手”、“培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
数学项目活动学习这一类型的数学课是帮助活动参与者达到上述目的的有效手段。本人在高一年级选取了斐波那契数列这一古老的的数学数列问题，开展数学项目活动学习，权当作新课程改革的一种尝试吧。 一、课型
本课为数学项目活动课，由教师提出斐波那契数列这一数学知识，指导学生利用课余时间自主探究斐波那契数列在各领域中的应用，最后以小组汇报的形式将研究成果向同学和老师展示。以学生为主体，将课堂和数学学习的主动权交给学生。 二、学习目标：
1．通过教师讲解使学生了解斐波那契数列的历史及定义。
2．启发学生利用类比、归纳、猜想等数学方法探索研究斐波那契数列的性质及特点。 3．通过学生亲历各种数学活动，自主利用书籍、网络等现代技术手段学习知识进而解决问题，培养学生的自学能力和收集、加工、整理、利用信息的能力。
4．通过对现实世界的数学素材收集整理，让学生感受生活中无处不在的数学，感受数 1
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M·路德维希、徐斌艳。项目导向的数学教学设计[J]。中学数学教学参考，2005年，第1-2期：5。 2
《基础教育课程改革纲要(试行)》
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学美和数学的巨大作用，了解数学与其他学科的关系，激发学习数学的兴趣和求知欲。
5．通过小组合作和成果汇报，培养学生的数学交流能力和团队合作意识。 三、教学安排（5课时，共持续一个月） 第一课时：（详见学习单与第一课时ppt）
1．由教师主导，由数学史上著名的斐波那契“兔子问题”引出斐波那契数列，让学生了解斐波那契数列的由来，定义及递推关系式。
2．向同学们介绍斐波那契数列不仅在数学上有价值，在许多其他领域中也有它的身影。说明开展此次活动课的目的，围绕这个神秘的数列开展一系列有趣而又富有挑战性的活动，从而揭开这个数列神秘的面纱。
3．将斐波那契数列在各领域的应用划分为斐波那契数列的数学奥秘、斐波那契数列与植物、斐波那契数列与动物、斐波那契数列与艺术、斐波那契数列与高中数学、动手构建神奇的数列等六个模块，每个模块由教师提供数个参考问题，允许学生根据自己的爱好，挑选感兴趣的问题进行研究。
4．确定小组成员组成，明确选择模块主题，对小组活动提出指导意见。 第二课时——第四课时
各组同学开展活动，并向老师同学进行过程汇报。教师作为指导者，就学生在收集素材，整理完善成果的实践过程中遇到的困难做适当的解答，积极鼓励学生树立信心。 第五课时：（详见第五课时ppt及学术成果汇总） 1．教师开场白，重温斐波那契数列的含义。
2．依次由斐波那契数学的数学奥秘组，斐波那契数列与中学数学组，斐波那契数列与艺术组，斐波那契数列与自然组分别汇报小组成果。教师在每个小组汇报结束后进行简短的点评。小组汇报的形式有利用ppt，展现实物，表演魔术，自创乐曲，播放电影等方式。（ppt中链接同学的汇报材料）
3．最后教师对此次活动进行点评。 四、活动评价
由每位同学填写学习单中的活动反馈表，将自己活动中的感受和建议整理好。由同学和老师一起利用学习单中的小组活动计分表给各汇报小组的成果打分，根据分值的高低颁发奖品，所有参与的同学人人有奖，以资鼓励。
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在同学们自评反馈中我们可以看到学生对于参加这类活动的兴趣很高，对资料的收集、加工和整理能力得到了锻炼，同学之间的数学交流与合作能力得到了提高，同学们感到很新颖，很有收获。
五、教学反思
这次的数学活动课同学们表现非常出色，只能用“惊叹”来形容我的心情，这一课让各位同学，包括我在内都获益匪浅。让我感到兴奋的不仅仅是斐波那契数列知识本身，更重要的是同学们在探究数学奥秘过程中的精彩表现。 （一）学生带给我们的惊喜
首先，这节课让我看到了学生身上的确存在着巨大的潜能，作为教师应该要放手相信他们，给他们以舞台，让他们在舞台上跳出最美丽的舞蹈。现今的学生们拥有比以往任何时候都发达的资讯，他们各方面的知识和才干甚至超过了老师，我们教师如果还像以往那样总是不敢放手，继续手把手地教他们，课堂还是教师的一言堂，那么学生学习的效果可能不会太好。所以在适当的时候，放手让学生自己去探索，自己去收集资料，他们学到的会更多，也会带给我们更多惊喜。比如，音乐组的同学通过了解斐波那契数列在音乐中的应用，利用斐波那契数列自己创作了一首乐曲（音乐见学生学生汇报材料），将莫扎特的名曲根据斐波那契数列改变之后，使得原本悲伤的乐曲变得欢乐明快，自编自弹，我只能感叹学生太有才了！
其次，通过观察学生的活动过程及最后成果的展示，我们可以发现，在这次数学项目学习活动中，学生们体会到数学学习并不仅仅是操练习题，很多同学自己发现问题，寻找答案，学会用数学的眼光去看世界，发现了现实生活中无处不在的数学。有人说，“如果这世界上真的有上帝的话，那么上帝一定是一位数学家。”因为它用数学的规律创造了这个世界，以至于我们的世界中充满了各种各样的数学现象。世界从来不缺乏数学美，而缺乏发现数学美的眼睛。而今天学生们都擦亮了自己那双数学的眼睛，发现了数学的美，感受到了数学就在我们身边。比如动植物组的同学找了那么多大自然中的奇妙现象，平时也许我们不曾想到花瓣和果实之上都存在着那么多的数学知识。
第三，在这次活动中，同学们还表现出了很强的举一反三能力，根据现象提出猜想，依靠自己的推理能力论证猜想成立。很多的科学发现都来自于猜想，学习数学不仅要会解决问题，也要会提出问题。比如艺术组的同学根据钢琴的琴键上存在斐波那契数列，结合组员学
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习民乐的特点，提出中国古典民族乐器是不是也有斐波那契数列存在的猜想？他们提出问题，大胆假设，小心求证。结果他们找到了许多弦数为斐波那契数的弹拨乐器，但是也发现了一些非斐波那契数的乐器。虽然猜想的结果不尽如人意，但是孩子们没有放弃，而是进一步提出了另外两个假设：“是不是具有斐波那契数的乐器音色有特别之处？”他们发现所有中国古代的民族乐器都具有斐波那契数，而现代的乐器就不再具有这一特点，“这是不是和年代有关？与音乐的发展历史有关？”当然以同学们现有的知识水平无法解决这些问题，但是能够有这样的疑问，就已经是很了不起的进步，也许这样的一次经历会吸引着这位同学投身音乐事业呢。
学习需要动力，学生们内心存在弄清楚某个问题的强烈需求时就会乐意迎难而上，而不再需要外力催促他们学习。比如数学奥秘组的同学就运用了高中阶段没有教授的特征方程成功求出了斐波那契数列的通项公式，自己阅读文献来研究斐波那契螺线的奥秘，他们遇到了没有学过的未知知识，可是他们没有停止、退缩，而是选择了迎难而上，靠自己的力量成功得到了问题的解答。将来的学习道路上，他们会遇到更多未知的知识，正是要有这样勇攀高峰的决心，才能在科学的道路上前行。
同学们对于现代多媒体技术的运用和成果汇报新颖的方式也让我们眼前一亮。这次的活动汇报，同学们除了使用传统的ppt之外，还利用了moviemaker制作了电影，并在现场揭秘了刘谦表演过的魔术，丰富多彩的汇报形式，让我们所有听课的老师都耳目一新，比起平日里一支粉笔一块黑板的上课，这样的课显然有意思多了。 （二）学生活动中存在的问题
当然，学生在这项目学习活动中也暴露出一些问题。这类数学项目学习活动需要学生较强的自主学习能力、寻找问题的能力以及钻研精神，这些恰恰是学生相对薄弱的，因此在整个学习活动过程中，作为教师还是要经常主导学生学习。另一方面，由于课业压力和花费时间，并不是所有的同学都参与到了活动中来，个别小组只有几位同学在真正实践操作，更多的同学则成了看客。可能学生很少接触这样的学习方式，因此对于学生而言，他们喜欢老师上这样的课，但是如果仅仅是听听这样的趣味数学课，而不用他们动手，他们会更乐意，但这与我们设计这类课的初衷是有悖的。因此如何真正调动学生自主学习探究的积极性，不仅仅是为了应付而学习，这是值得我们思考的问题。
其次，学生的成果数学味还不够浓，学生更愿意去了解数学与现实生活的事例，而不愿
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