第二章、随机变量及其分布列知识点小结
一、知识结构
随机变量 条件概率 超几何分布 离散型随机变量 二项分布 数学期望 方差 正态分布 事件的独立性 连续性随机变量 离散型随机变量的数字特征 二、知识点
（一）、离散型随机变量
1.随机变量定义：我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这
种 关系下，数字随着试验结果的变化而变化。像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 常用字母 、 、 、 ?表示． 2．随机变量与函数的关系
随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 ．
3.利用随机变量我们还可以表示一些事件，例：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X。随机变量?X?0?表示 ；“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．
?离散型随机变量4.随机变量的分类??连续型随机变量
5. 离散型随机变量的分布列：
1 X P 2 3 4 5 6 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,?,xi,?,xn，X取每一个值xi(i?1,2,?,n)的概率
P(X?xi)?pi．则上述表格就称为离散型随机变量X的
6.分布列的表示方法有：
①列表法表示： X x1 P x2 p2 … … xi pi … … xn pn p1 ②解析式法表示： ③图象法表示： 7.离散型随机变量的分布列具有的性质： （1） ；（2）
8.两点分布列： X P 0 1?p 1 p 称X服从 ；称p?P(X?1) 为 两点分布的特点是： 9.超几何分布列：
一般地，从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中加油X件次品，则P(X=k)= 其中 m 0 1 … X P CMCN?MCnN0n?0 CMCN?MCnN1n?1 … CMCN?MCnNmn?m 如果随机变量X的分布列具有上述表格的形式，则称随机变量X服从 。 10.求离散型随机变量分布列的步骤：
（二）、条件概率
1.事件的交（积）:由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称事件A与B的交（积）记D=A∩B或D=AB 2.和（并）事件： 2.定义及计算公式： 一般地，设A、B两个事件，且P(A)>0，称= = 为在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率P(BA)读作 3.条件概率具有概率的性质：有界性 ?P(BA)?
可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B?CA)= 例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； （3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
2.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )
3277A. B. C. D. 10989求解条件概率的一般步骤：
（三）、事件的相互独立性
1. 事件A与事件B的相互独立定义：
设A,B为两个事件，如果 ，则称事件A与事件B的相互独立． 注意： ① 在事件A与B相互独立的定义中，A与B的地位是对等的，一件事的发生与否对另一件事情发
生的概率没有影响； ② 不能用P(BA)?P(B)作为事件A与事件B相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是
P(A)?0；
③如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都 ．
③ 相互独立事件同时发生的概率公式（概率的乘法公式）应用公式的前提？
④ 互斥事件与相互独立事件的区别：
⑤ 判断两个事件相互独立的方法：
⑥ 推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率：应用公式的前提？
例1：甲乙两人解一道数学题，他们能解出的概率分别是
12、；求（1）恰有一人能解出这道题的43概率（2）这道题能被解出的概率
2.已知A、B、相互独立，试用数学符号语言表示下列关系：A、B、发生的概率分别为P(A)、P(B)、 ① A、B同时发生概率； ② A、B都不发生的概率； ③ A、、中恰有一个发生的概率； ④ A、B中至多有一个发生的概率； ⑤A、B中至少有一个发生的概率；
（四）、独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验：在 的条件下 做的n次试验称为n次独立重复试验． 2.注意：独立重复试验的基本特征： （1）、每次试验是在 条件下进行；（2）、每次试验都只有两种结果 与 ； （3）、各次试验中的事件是 ；（4）、每次试验,某事件发生的概率是 。 （5）.独立重复试验的实际原型是 的抽样试验。（有放回，无放回） 3.二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：P(X?k)= ，，并称pk?0,1,2,?,n则称随机变量X服从 ．记作：X～B（ ）
为 ．注意：公式中的X、k、n、p分别表示什么？
4. 二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系？
例1例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射击手在5次射击中 （1）恰有3次击中目标的概率；（2）至少有3次击中目标的概率．（3）击中次数少于3次的概率是多少？
变式：上题目中求下列问题的概率
（1）只有前3次击中目标的概率（2）第二次击中的概率（3）刚好第二次、第五次击中目标的概率
（五）、离散型随机变量的均值
1.样本平均数计算公式 加权平均数计算公式
2.均值或数学期望：
若离散型随机变量X的分布列为： X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E（X）? ．为随机变量X的均值或数学期望．它反映离散型随机变量取值的 ．
注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系：
3.几种分布的数学期望
（X）? ；②若X～B(n,p)，则E（X）? ①若X服从两点分布，则E（X）? ③若X服从超几何分布，则E4. 求离散型随机变量的数学期望的方法和步骤？
5. 求随机变量的连续函数的概率
一般地，若?是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(?)也是随机变量，即随机变量的某些函数也是 。要求f(?)的分布列，只需求出随机变量?的分布列，再求f(?)的分布列时，要
做到f(?)的取值 ，若f(?)的取值有重复时，需把他们的概率 ，作为此随机变量的概率
6.离散型随机变量期望的性质：若Y?aX?b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且
E(aX?b)? ．特别地，我们有：当a=0时， 当a=1时，有
当b=0时，有 。
例：已知随机变量X的分布列为： X -2 -1 0 1 P m 111 4352 120 2试求：（1）E(X) ;(2)若Y=2X，求E(Y) ; (3)若Y=2X-3，求E(Y)（4）若Y?X，求E(Y)
（六）、离散型随机变量的方差 1. 样本的方差、标准差计算公式？
2.离散型随机变量的方差：当已知随机变量?的分布列为P???xk??pk (k?1,2,?)时，则称
（?）? 为?的标准差 D（?）? 为?的方差，?随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．D越小，稳定性越 ，（?）波动越 ．
注意：随机变量的方差与样本方差的区别与联系：
3.方差的性质：
当a,b均为常数时，随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)? ．特别是： ①当a?0时，D?b?? ，即常数的方差等于 ；
