6、塔式简支梁的弯曲。如图所示两端简支的梁，梁的抗弯刚度不均匀，梁的中间有一段刚度为2EI，其为梁长2l的一半，梁两端各有一段刚度为EI，其长为l/2，如果梁的中间受均布荷载q，用里兹法求梁中点最大挠度和近似挠度曲线。
里兹法：
解：设OB段的挠曲线为
l??w1?a1(x?l)?a2(x?l)?a3?x??
2??23BC段的挠曲线为
w2?a1(x?l)?a2(x?l)2
从中可以看出，这两个函数满足
?l??l??l?'?l?w2(l)?0；w1???w2??；w1'???w2??
?2??2??2??2?'又由w1(0)?0得
3a1?2a2l?a3l2
4所以
3l????w1??2a2l?a3l2?(x?l)?a2(x?l)2?a3?x??
42????3??w2??2a2l?a3l2?(x?l)?a2(x?l)2
4??3由对称性可得
''2222U??2EI(w)dx??lEI(w2)dx?3EIl(2a2?2a2a3l?a3l)
2l20''21l17??11Eq??2?qw1dx?ql3?a2?a3l?
32??12故总势能
222?=U?Eq?3EIl(2a2?2a2a3l?a3l)+ql3?l2017??11a2?a3l?
32??12由势能驻值条件
?????0；?0得 ?a2?a3113ql?012
176EIl2(a3l?a2)?ql4?0326EIl(2a2?a3l)?联立得
37ql27qla2??；a3?
288EI576EI则
169ql337ql27ql?l?w1??(x?l)?(x?l)2?x???
1152EI576EI288EI?2?169ql337ql2w2??(x?l)?(x?l)2
1152EI576EI61ql4DO段近似挠曲线可相应由对称性得到，且跨中挠度w1(0)?.
768EI3
积分法求解挠曲线及跨中挠度： OB段的挠曲线微分方程为
1?l13?12EIw1''??M1(x)?q??x??ql(l?x)?qx2?ql2
2?228?2则
1332qx?qlx?A1 68143222EIw1?qx?qlx?A1x?A2
24162EIw1'?2OB段的挠曲线微分方程为
111''EIw2??M2(x)??ql(l?x)?qlx?ql2
222则
11qlx2?ql2x?B1 4211EIw2?qlx3?ql2x2?B1x?B2
124'EIw2?由边界条件及连续性条件
'''w1(0)?0；w1(l/2)?w2(l/2)；w1(l/2)?w2(l/2)；w2(l)=0
得
A1?0；A2=所以
65451ql；B1?ql3；B2?ql4 38448161365qx4?ql2x2?ql4 48EI32EI768EI1151w2?qlx3?ql2x2?ql3x?ql4
12EI4EI4816w1?65ql4跨中挠度w1(0)?.
768EI61ql465ql4里兹法相对于积分法跨中挠度相对误差为?768EI768EI65ql4=6.15% 768EI
