2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（林广寒）
教学目标： 1、知识与技能
（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。
（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简
单异面直线所成的角。 2、过程与方法
（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观
(1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
(3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。
教学过程： 一、复习引入
1．师：平面内两条直线的位置关系有？ 生：相交直线、平行直线 相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）
2．师：平面内不平行的两直线必相交，问：空间内还成立否？ 通过实例展示。十字路口----立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD既不平行，又不相交（非平面问题） 六角螺母
D
C A B
二、新课讲解
1.异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
练习：在教室里找出几对异面直线的例子
（学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）
2．异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
bbbaaa
合作探究：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 （提问学生在黑板上画出上述三种情况，即巩固异面直线的定义，又训练了异面直线的画法）
3.空间两直线的位置关系
按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线
（2）不同在任何一个平面内：异面直线
按公共点个数分 （1）有一个公共点:相交直线
A C （2）无公共点：平行直线、异面直线
G 注1：两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.
B D 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
H
E 合作探究：如图是一个正方体的展开图,如果将它 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对?
（学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。 老师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 答:共有三对
3.异面直线所成的角 (1)复习回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线
H G
的错开程度, 如图.
O E F
D C
B A (2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画
(3)问题猜想
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小 是否改变?答 : 这个角的大小与O点的位置无关. (4)理论支持
㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
d e a b c a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两
个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？
观察：如图所示,底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, ∠1 =100o，∠1与∠2 , ∠1与∠3两边分别对应平行, D1∠2 C1
∠3 这两组角的大小关系如何? A1 B1
答:从图中可看出, ∠2=∠1,D C ∠1 ∠3+∠1=180
A B 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
证: 这个角的大小与O点的位置无关.
（5）解决问题
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
bb′ a′ O a
异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]
注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)
4．例题选讲 1.下图长方体中 H G (1)说出以下各对线段的位置关系? E F
D A B C
①EC和BH是 相交 直线 ②BD和FH是 平行 直线 ③BH和DC是 异面 直线
(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？
例2．如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体 H G
E F ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
D C (2)FO与BD所成的角？
解：(1)如图：∵CG∥BF，
A B
∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又 ? BEF中∠EBF =450 ，所以BE与CG所成的角为450 （2）连接FH，
∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。 连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，
又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=300 即FO与BD所成的夹角是300 注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”
5．课堂练习
（1）.已知a，b，c是三条直线，且a//b，a与c的夹角为θ，
那么b与c夹角为 ___________ （答案：θ） （2）判断：
①两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行. ②两条直线和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行. ③两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行. （答案： × × √）
（3）. 如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的
中点，试判断四边形EFGH是什么四边形，并证明你的结论。（用课件给出例2） 证明：连结BD
∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH是△ABD的中位线
AHEDBFGC1∴EH∥BD，且EH=BD
21同理，FG∥BD，且FG=BD
2∴EH∥FG，且EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形
