∴BE∥DF.
同理，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．
2．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF差不多上等边三角形， ∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°. ∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA， ∴∠ABC＝∠DBE. ∴△ABC≌△DBE. ∴AF＝AC＝DE.
同理，可证△ABC≌△FEC， ∴AD＝AB＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
3．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE. ∴∠AEB＝∠CFD. 在△AEB和△CFD∠BAE＝∠DCF，中， ??
?AE＝CF，
??∴△∠AEB＝∠CFD，， AEB≌△CFD∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
4．解：四边形BFDE是平行四边形．理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
11
∴∠ABE＝∠CBE＝2∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝2∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△OAE与△OCF中，
∠EAO＝∠FCO，??
?OA＝OC，
??∴△∠AOE＝∠COF，，∴OE＝OF. OAE≌△OCF同理OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.
专训2
11．(1)证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM綊2CD，1
PN綊2AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC， ∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°， ∴∠FHG＝120°.
易证四边形PFHG为平行四边形， ∴∠MPN＝120°.
(第1题)
2．解：如图，延长BD，CA交于N.
(第2题)
在△AND和△ABD中，
∠NAD＝∠BAD，??
?AD＝AD，
??∴△∠ADN＝∠ADB＝90°，AND≌△ABD(ASA)．
∴DN＝DB，AN＝AB.
111
∴DM＝2NC＝2(AN＋AC)＝2(AB＋AC)＝15. 3．解：如图，延长BD交AC于点F，
(第3题)
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)． ∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
11
∴DE＝2CF＝2×4＝2.
4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME
1＝2AN.
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
BF＝BN，??
∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，?∠CBF＝∠ABN，
??BC＝BA，∴△BCF≌△BAN.
11
∴CF＝AN.∴ME＝2AN＝2CF.
(第4题)
(第5题)
5．解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN. ∵M是AD的中点，P是BD的中点，
∴PM是△ABD的中位线，
1
∴PM＝2AB＝5.
1
同理可得PN＝2CD＝4. 在△PMN中，
∵PM－PN 1 6．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝2BF，NH1＝2AE. ∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF. ∴MH＝NH. ∵点M，H，N分不为AF，AB，BE的中点， ∴MH∥BF，NH∥AE. ∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC. ∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°. 2 ∴NH＝2MN. 2 ∴AE＝2NH＝2×2MN＝2MN. (第6题) (第7题) 7．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴D为BC的中点． 又∵H为NC的中点， ∴DH∥BN. 又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形． ∴HE＝PD.又∵P为AD的中点， ∴AP＝PD. ∴AP＝EH， 易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH. 1 ∴AN＝NH＝HC，∴AN＝3AC.
