所以圆心到直线的距离为d?因为直线?cos(??0?3?0?21?3?1．
?3)?1与曲线??r（r?0）相切，所以r?d，即
3232)]?(x?1?3y?)， 33r?1. ……………10分
（D）解：由柯西不等式，得[x2?(3y)2][12?(即而
42(x?3y2)?(x?y)2． 3x2?3y2?1，
所
以
(x?y)2?43，所以
?223?x?y?3， ………………5分 33?x3y?3??x?1?3?332?2，
x?,y?由?，得所以当且仅当时， (x?y)?3．?max3263??y?32?x?y??36?3?x所以当取最大值时的值为x?y3. ………………10分 2x?22．解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC?BD．又OP?底面ABCD，以O为原点，直
线OA,OB,OP 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(?2,0,0),M(?1,0,2)．
所以AP?(?2,0,4)，BM?(?1,?1,2)，AP?BM?10， z P M D x O A B 第22题图
y C
|AP|?25，|BM|?6．
则cos?AP,BM??AP?BM1030． ??6|AP||BM|25?630. ………5分 6故直线AP与BM所成角的余弦值为（2）AB?(?2,1,0)，BM?(?1,?1,2)．
设平面ABM的一个法向量为n?(x,y,z)，
???2x?y?0?n?AB?0则?，得?，令x?2，得y?4，z?3．
??x?y?2z?0??n?BM?0得平面ABM的一个法向量为n?(2,4,3)．
又平面PAC的一个法向量为OB?(0,1,0)，所以n?OB?4，|n|?则cos?n,OB?? 29，|OB|?1．
n?OB44??29. 29|n||OB|29故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为429. ………………10分 290112r?1rn?1n23．解：（1）由条件，nf?n??CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn ①，
①中令，n?11f?1??C10C1?1． ………………1分
在在
①
中
令
得
n?2n?3猜
，
，得
2f???20302C212?C2122，得C?2C6f?2??3． ………………2分
在
①
中
令
得
3f3???C=
13C?132C?3C323，C?33得03C或
f?3??（
． ………………3分 102
）
想
f?n?nC2n?1（
n?1． ………………5分 f?n?=C2n?1）
n0112r?1rn?1n欲证猜想成立，只要证等式nC2n?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn成立．
方法一：当n?1时，等式显然成立，
当n…2时，因为rCn=rr?（n!）n!(n?1)!r?1=?n??nCn?1，
r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!(r?1)!(n?r)!r?1rrr?1r?1r?1故rCnCn?(rCn)Cn?nCn?1Cn．
n0011r?1r?1?1n?1故只需证明nC2?????nCnn?n?1?nCn?1Cn?nCn?1Cn?????nCn?1Cn1Cn． n0011r?1r?1n?1n?1即证C2?????Cnn?1?Cn?1Cn?Cn?1Cn?????Cn?1Cn?1Cn．
r?1n?r?1n0n1n?1r?1n?r?1n?11而Cn，故即证C2?Cn?????Cn?????Cnn?1?Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cn?1Cn ②． n由等式(1?x)2n?1?(1?x)n?1(1?x)n可得，左边xn的系数为C2n?1．
而右边
?(?xn?1?xn0??Cn?1????1??n?????1Cn?1???)，
nx2n0n1n?1r?1n?r?1n?11所以xn的系数为Cn?????Cn?????Cn?1Cn?Cn?1Cn?1Cn?1Cn．
由(1?x)2n?1?(1?x)n?1(1?x)n恒成立可得②成立. 综
上
，
nf?n??C2n?1成
立. ………………10分
方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n?1个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球（n?r个白球）的n个小球的组合的个数
rn?r为Cn，0?r?n?1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数?1Cn0n1n?1为Cn??1Cn?Cn?1Cnn?11?Cn?1Cn．
n另一方面，从袋中2n?1个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为C2n?1．
n0n1n?1故C2?n?1?Cn?1Cn?Cn?1Cnn?11，即②成立. 余下同方法Cn?1Cn一. ………………10分
n0122方法三：由二项式定理，得(1?x)?Cn?Cnx?Cnx?两边求导，得n(1?x)③×④， 得
0122n(1?x)2n?1?(Cn?Cnx?Cnx?nn121?Cnx)(Cn?2Cnx?n?1121?Cn?2Cnx?rr?1?rCnx?nn?Cnx ③． nn?1?nCnx ④．
rr?1?rCnx?nn?1?nCnx)
⑤．
n左边xn的系数为nC2n?1．
1n2n?1rn?r?1n1右边xn的系数为CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn
1021rr?1nn?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn0112r?1rn?1n?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn．
n0112r?1rn?1n由⑤恒成立，可得nC2n?1?CnCn?2CnCn?????rCnCn?????nCnCn．
故
nf?n??C2n?1成
立. ………………10分
