18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x，其中b?R． 2x?b（Ⅰ）若x??1是f(x)的一个极值点，求b的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．
19．（本小题满分14分）
x2y2如图，A，B是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个顶点．|AB|?5，直线AB的斜
ab率为?1． 2（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x,y轴分别交于点M,N，与椭圆相交于C,D．证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．
20．（本小题满分13分）
如图，设A是由n?n个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,3,?,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}．记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．
对于A?S(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令
l(A)??ri(A)??cj(A)．
i?1j?1nn（Ⅰ）对如下数表A?S(4,4)，求l(A)的值；
（Ⅱ）证明：存在A?S(n,n)，使得l(A)?2n?4k，其中k?0,1,2,?,n； （Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A?S(n,n)，证明：l(A)?0．
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．?1； 10．
513x，； ； 11．y??22212．?3； 13．[?,1]，[,?]； 14．4π． 注：11、13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知得 2cosB?cosB?1?0， ??????2分
即 (2cosB?1)(cosB?1)?0．
解得 cosB?分
因为 0?B?π，故舍去cosB??1． ??????5分
所以 B?212?31，或cosB??1． ??????42π． ??????63分
（Ⅱ）解：由余弦定理得 b?a?c?2accosB． ??????8分
222将B?π2，b?7代入上式，整理得(a?c)?3ac?7． 3因为 a?c?5，
所以 ac?6． ??????11分
所以 △ABC的面积S?分
16．（本小题满分13分）
133． ??????13acsinB?22（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1． ????2分
所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：
321?6?3；第4组：?6?2；第5组：?6?1． 666所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ??????5分
（Ⅱ）解：记第3组的3位同学为A1，A2，A3；第4组的2位同学为B1，B2；第5组的1位同学为C． ??????6分
则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1), (A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C)，共15种可能． ??????10分
其中，(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),
(B1,C),(B2,C)这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ??????12
分
故所求概率为P?分
17．（本小题满分14分）
11． ??????1315（Ⅰ）证明：连接CN．
因为 ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以 CC1?平面ABC， ??????1分 所以 AC?CC1． ??????2分
因为 AC?BC， 所以 AC?平面BCC1B1． ??????3分
22因为 MC?1，CN?CC1?C1N?5，
所以 MN?6． ??????4分
（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1． ??????5分
1BC． 21在矩形B1BCC1中，因为 N为B1C1中点，所以B1N//BC，B1N?BC．
2在△ABC中，因为 M为AC中点，所以DM//BC，DM?所以 DM//B1N，DM?B1N． 所以 四边形MDB1N为平行四边形，所以 MN//DB1． ??????7分
因为 MN?平面ABB1A1，DB1?平面ABB1A1， ??????8分
所以 MN// 平面ABB1A1． ??????9分
（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B?平面MNQ． ???11分
证明如下：连接BC1．
在正方形BB1C1C中易证 QN?BC1．
又A1C1?平面BB1C1C，所以 A1C1?QN，从而NQ?平面A1BC1．????12分
