数学分析第二十一章重积分§6 重积分的应用一、曲面的面积二、重心三、转动惯量四．引力*点击以上标题可直接前往对应内容应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量,还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.曲面的面积
§6重积分的应用曲面的面积重心转动惯量引力
f(x,y)在D 上设D 为可求面积的平面有界区域,
现讨论由方程具有连续的一阶偏导数，
z?f(x,y),(x,y)?D所表示的曲面S 的面积.
(1)对区域D 作分割T，把D 分成n 个小区域?i(i?1,2,?,n).这个分割相应地将曲面S 也分成n 个小曲面片Si(i?1,2,?,n).(2) 在每个Si上任取一点Mi,作曲面在这一点的切平面?i, 并在?i上取出一小块Ai,使得Ai与Si在
数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§6重积分的应用曲面的面积重心转动惯量引力
xy平面上的投影都是?i(见图21-38).在点Mi附
zS:z?f(x,y)Mi?Six近用切平面Ai代替小曲面片Si,从而当T充分小时, 有
AiOD?S???Si???Ai,i?1i?1ynn?i这里?S,?Si,?Ai分别
图21?38(3) 当T?0时, 定义和式??Ai的极限(若存在) 作为S的面积.
数学分析第二十一章重积分高等教育出版社表示S,S,A的面积. iini?1§6重积分的应用曲面的面积重心转动惯量引力
现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的计算公式.
为此首先计算Ai的面积. 由于切平面πi的法向量就是曲面S 在点Mi(?i,?i,?i)处的法向量n, 记它与z轴的夹角为?i,则
1|cos(n,z)|?|cos?i|?.221?fx(?i,?i)?fy(?i,?i)因为Ai在xy平面上的投影为?i,所以??i22?Ai??1?fx(?i,?i)?fy(?i,?i)??i.cos?i注意到和数
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