页眉 求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误
【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对
2an(an?3a)于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设a?0，a1?0，an?1?求liman的2n??3an?a问题题目尽给出了第n项和第n+1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则
lim?k!k?1nn??n!及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常
见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x?1121时函数y=x?x的极限。我们列出了当x?时某些函数值，考察220.499 0.751 … … 0.501 0.749 0.502 0.748 0.503 0.745 0.505 0.745 函数的变化趋势，如下表所示。 x 0.493 0.496 0.498 y 0.757 0.754 0.752 从列表可以看出，当x趋向于0.75。
2、利用四则运算法则求极限
332例2（1）求lim(4?x?x)
x?121121时，y就趋向于0.7，即x?时，y=x?x的极限是22x2?1（2）lim
x?22x?1x2?1)3x2?1lim(解（2）lim=x?2?
x?22x?1lim(2x?1)5x?23、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求limxsinx?01 x111?1即sin有界，所以limxsin=0
x?0xxx解因为limx=0，且sinx?0 1 / 111
页眉 4、利用两个重要极限求极限 例4 求limxsinx??11lim(1?)x xx??x11x=1（因为x??时1?0）解limxsin=lim。
x??xx??1xx1x111令u??x则当x??时u??所以lim(1?)=lim(1?)?e?lim?
x??x??u??1xu(1?)uex1x1?x?11?1也可以直接计算lim(1?)=lim[(1?)]?e?
x??x??xxesin5、利用初等函数的连续性求极限 例5求limlnsinx
x??2解：点x0??2是初等函数f(x)?lnsinx的一个定义区间(0,?)内的点，所以
limlnsinx?lnsinxx?2?2?0
6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求lim1?cosx
x?0ln(1?2x)解：当x?0时，1?cosx?12x，ln(1?2x)?2x 212x1?cosx2?lim?0 所以limx?0ln(1?2x)x?02x7、利用罗比达法则求极限 例7 求lim?x?0lnsin2x
lnsin3xcos2x?2lnsin2xsin2x=limsin3x?cos2x?2?1 解：lim=limx?0?lnsin3xx?0?sin2xcos3x3x?0?cos3x?3sin3x8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限
??3x?2(x?0)?f(x)??x2?1(0?x?1)求limf(x)，limf(x)
x?0x?1?2?(x?1)x?
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页眉 解：因为limf(x)=lim(3x?2)?2 ??x?0x?0x?0x2?1)=1 limf(x)=lim(??x?0x?0?limf(x)?limf(x) ?x?0x?0所以limf(x)不存在 ?因为limf(x)?2
x?11利用极限的定义来验证极限的存在
极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由xn?A??或f(x)?A??去寻找满足条件的充分大的正整数 N或充分小的正数δ或充分充分的正数 X。 比如:证明limx?2x?21? 2x?44x?2x?21x?21???，只要2证明对???0，要使2????因为x?2，不妨x?44x?444x?2设
x?2?1，此时1?x?3?，从而
3?x?2?5，因此，
x?21?x2?44x?2111??x?2?x?2?c,于是取??min{?}，从而
43124x?2x?21x?21???，从而lim?
x?2x2?4x2?444???min{1,12?}，当0?x?2??时，总有
2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形) 比如 求limx?1x?3?2
x2?x?2此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式 解：limx?1x?3?211(x?3?2)(x?3?2)lim?= ?limx2?x?2x?1(x?1)(x?2)(x?3?2)x?1(x?2)(x?3?2)1223利用极限运算法则和无穷小的性质求极限 比如 求lim(x?x?x)
x???本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化,可转化为幂变形后求解。
?型将分子分母同时除以 x的最高次? 3 / 113
页眉 解lim(x?x?x)=limx???2(x2?x?x)(x2?x?x)(x?x?x)2x???=limx(x?x?x)2x???
=lim11?
x???21(1??1)x在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极
sinen限。比如 求lim
x??n?2sinen1?0 解 注意到sine?且lim?0所以由无穷小的性质得limx??n?2x??n?2nxln(1?3x)又比如求lim 2x?0arctanx解 当x?0时，ln(1?533353x)，3x，arctanx2，x2
5313所以limx?0xln(1?x)xxlim?1 =
x?0x2arctanx214.2重要极限2
111f(x)1x)?e lim(1?)?e，lim(1?)x?e，lim(1?f(x))f(x)?e，lim(1?x?x0x?0x?x0x??xf(x)x特征:①“1 ”型;②底数中要转化为有“1”的形式;③ “1”的后面的变量与幂指数互为倒
数。
1比如 求lim(cosx)x
x?011cosx?1cosx?1x22解lim(cosx)=lim(1?(cosx?1))x?0x?0x2=e
125利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5.1利用夹逼定理求极限
111??L?) 222x??n?1n?1n?n111?解 因为，k=1，2，3L?222n?nn?kn?1比如 求limn(n，从而
n2n2111)?2 ?n(2?2?L?2n2?nn?1n?1n?1n?n 4 / 114
