（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；图表型；数形结合；分析法；概率与统计． 【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值． 【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量=30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5， 解得x=0.038；
∴中位数是2+0.06=2.038．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小
长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属
于常规题型． 17．（12分）（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB； （II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD． 【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB． 取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA， ∵ME?平面PAB，PA?平面PAB， ∴ME∥平面PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE是平行四边形， ∴CE∥AB．
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CE∥平面PAB． ∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB， ∵CM?平面CME， ∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交， ∴PA⊥平面ABCD， ∵BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面PAB， ∵BD?平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 18．（12分）（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
+
=
．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b+c﹣a=bc，求tanB．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形． 【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
222
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵∴由正弦定理得：∴
=
，
+=，
，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b+c﹣a=bc，由余弦定理可得cosA=． sinA=，
+
==
=1，
=，
2
2
2
tanB=4． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12分）（2016?四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，
+
其中q＞0，n∈N
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x﹣
2
=1的离心率为en，且e2=2，求e1+e2+…+en．
222
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差
2
数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1，即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1，分析可得an=q
﹣1
n
；又由双曲线x﹣
2
=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=
n﹣1
=2，
解可得a2的值，由an=q可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几
﹣22n1
何性质可得en=1+an=1+3，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1， 又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，
2
又有S3=qS2+1，则有a3=q，
若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），
2
则可得q=2q，（q＞0）， 解可得q=2，
则有Sn+1=2Sn+1，① 进而有Sn=2Sn﹣1+1，② ①﹣②可得an=2an﹣1，
则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，
n﹣1n﹣1
则an=1×2=2；
（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③ 同理可得Sn=qSn﹣1+1，④ ③﹣④可得：an=qan﹣1， 又由q＞0，
则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×q若e2=2，则e2=
=2，
n﹣1
=q
n﹣1
；
解可得a2=，
则a2=q=，即q=，
n﹣1n﹣1n﹣1
an=1×q=q=（），
22n﹣1则en=1+an=1+3，
故e1+e2+…+en=n+（1+3+3+…+3
2
2
2
2
n﹣1
）=n+．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
20．（13分）（2016?四川）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端
点是正三角形的三个顶点，点P（（Ⅰ）求椭圆E的方程；
，）在椭圆E上．
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳ 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
