四点共圆的性质、判定及应用
一、四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 1、四点共圆的性质：
（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2）圆内接四边形的对角互补；
（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、四点共圆的判定方法：
判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
判定定理3：对于凸四边形ABCD，对角互补?四点共圆(或其一个外角等于其邻补角的内对角?四点共圆)． 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，PD?BP?PC?AP?四点共圆． 判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，PD?PC?PB?PA?四点共圆． 判定定理6：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上?四点共圆． A判定定理7：四点到某一定点的距离都相等?四点共圆．
二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四
E边形ABCD内接于圆，则有BD?AC=BC?AD+CD?AB． DB托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形C必内接于圆。
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1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．
求证：B、E、F、C四点共圆．
2．如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高，∠A＝60°.
1求证：ED?BC
2
3．已知：如图所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．
求证：AD · BE＝BC · DC．
4．已知：如图所示，P为等边三角形ABC的外接圆的
求证：PA＝PB + PC．
上任意一点．
5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．则PB＝______.．
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．
7．已知：梯形 ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB · CD．
8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝62，那么AC的长等于______. 9．在△ABC中，∠A的内角平分线AD交外接圆于D．连结BD． 求证：AD · BC＝BD · (AB + AC)．
10．如图，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。
求证：AC · AE + BD · BE＝AB2
11．如图，△ABC内接于圆，P为
上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F。求证：D、E、F三点共线。
12．已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点． (1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO
＝60°，则△PMN的形状是______，此时ADBC=______；
(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO
＝2α，证明△PMN∽△BAO，并计算ADBC的值（用含α
的式子表示）；
(3)在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．
DECAB(9)ADEBCFP(11)四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆．
方法2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形,若能证明其两顶角为直角,从而即可肯定这四个点共圆．
方法3 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆．
方法4 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆．
方法5 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆．
方法6 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆．
上述六种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这六种基本方法中选择一种证法,给予证明．
判定与性质:圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角. 如四边形ABCD内接于圆O,延长AB至E,AC、BD交于P,则A+C=180度,B+D=180度,角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）.角CBE=角D（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）
