上海市高考解析几何解答题解析(2000—2013)
1、(2000年) 已知复数z0?1?mi(m?0),z?x?yi和w?x??y?i,其中x,y,x?,y?均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z,有w?z0?z,|w|?2|z|。 （1）试求m的值，并分别写出x?和y?用x、y表示的关系式；
（2）将(x、y)作为点P的坐标，(x?、y?)作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，
当点P在直线y?x?1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
[解]（1）由题设，w?z0?z?z0z?2z,?z0?2， 于是由1?m2?4,且m?0,得m?3，
因此由x??y?i?(1?3i)?(x?yi)?x?3y?(3x?y)i，
得关系式??x??x?3y ）
?y??3x?y[解]（2）设点P(x,y)在直线y?x?1上，则其经变换后的点Q(x?,y?)满足
?x??(1?3)x?3， ??y??(3x?1)x?1消去x，得y??(2?3)x??23?2， 故点Q的轨迹方程为y?(2?3)x?23?2
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为y?kx?b(k?0)，
[解法一]∵该直线上的任一点P(x,y)，其经变换后得到的点Q(x?3y,3x?y)仍在该直线上，∴3x?y?k(x?3y)?b，即?(3k?1)y?(k?3)x?b， 当b?0时，方程组???(3k?1)?1?k?3?k无解，故这样的直线不存在。
1
当b?0时，由
?(3k?1)k?33或k??3， ?,得3k2?2k?3?0，解得k?1k33x或y??3x， 3故这样的直线存在，其方程为y?[解法二]取直线上一点P(?bb3b,0)，其经变换后的点Q(?,?)仍在该直线上， kkk∴?3bb?k(?)?b，得b?0， 故所求直线为y?kx，取直线上一点P(0,k)，其经kk变换后得到的点Q(1?3k,3?k)仍在该直线上。∴3?k?k(1?3k)，
2即3k?2k?3?0，得k?3或k??3， 33x或y??3x， 3故这样的直线存在，其方程为y?2、(2003年) 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S?本题结果精确到0.1米）
?4lh，柱体体积为：底面积乘以高.
x2y2[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为2?2?1.
ab将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a?的拱宽约为33.3米.
（2）[解一]
447887,此时l?2a??33.3.因此隧道77x2y21124.52由椭圆方程2?2?1，得2?2?1.
abab
2
1124.522?11?4.5因为2?2?即ab?99,且l?2a,h?b,abab??ab99?所以S?lh??.422
1124.52192当S取最小值时,有2?2?,得a?112,b?22ab此时l?2a?222?31.1,h?b?6.4故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
x2y21124.5281a22?, [解二]由椭圆方程2?2?1，得2?2?1. 于是b?4a2?121abab812121281ab?(a?121?2?242)?(21212?242)?81?121,44a?121
2121即ab?99,当S取最小值时,有a2?121?2,a?12122得a?112,b?92.以下同解一. 23、(2003年)在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知 |AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量AB的坐标；
（2）求圆x?6x?y?2y?0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y?ax?1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在， 说明理由：若存在，求a的取值范围.
222??u2?v2?100?|AB|?2|OA|,即?[解]（1）设AB?{u,v},则由?得
4u?3v?0,??|AB|?|OA|?0? ??u?6?u??6,或?.因为OB?OA?AB?{u?4,v?3}, ?v?8?v??8 所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.
（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y?1x. 2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
3
y?1?x?3?2??0??x?1?22,得,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10. ???y?3?y?1??2??x?3（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
y1?y2?x1?x22??2?0x?x??2??2?2?1a,得,?y?y?5?2a2?1?xx???212??2a2??x1?x225?2ax??0的两个相异实根, 2a2a45?2a3于是由??2?4??0,得a?.22a2a3故当a?时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
2即x1,x2为方程x2?4、(2004年)设P1(x1,y1), P2(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n?3,n?N) 是二次曲线C上的点, 且a1?OP 的等差数列, 其1, a2?OP2, …, an?OPn构成了一个公差为d（d?0）中O是坐标原点. 记Sn?a1?a2?222?an.
x2y2??1,n?3. 点P（1）若C的方程为1(3,0) 及S3?255, 求点P3的坐标； (只需10025写出一个)
x2y2（2）若C的方程为2?2?1(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化
ab时, 求Sn的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,,Pn存在的充要条件,并说明理由.
2【解】(1) a1?OP1?100,由S3?32(a1?a3)?255,得a3?OP3?70. 2?x2y22???1?x3?60?由?10025，得?2∴点P3的坐标可以为(215,10).
??y3?10?x2?y2?703?3x2y2 (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:2?2?1（a?b?0）上各点的最小距离为b,
ab4
