③在同一坐标系中作出y?log④log34?1，0?log43?1
0.2x和log0.3x的图象，再进行比较
（2）先由小于0，知0?a?1,0?b?1再在同一坐标系中作出y?log（3）作f(x)?logax和logbx的图象，再进行比较
2（1，＋?）为增函数 x的图象，知，函数在（0，1）为减函数，在
又，f(3)?log23??log23?log23?1?log123，答案f()?f(3)?f()
5312（1）比较两个指数幂的大小：若“底同指不同”——用指数函数的单调性比较大小；
若“指同底不同”——用幂函数的单调性比较大小
（2）计较两个对数式的大小：①若“底同真不同”——直接用对数函数的单调性比较大小 ②若“真同底不同”——利用函数图象予以比较
③若“底数真数都不同”——取中间值0或1比较大小
④含有对称轴（或绝对值）且自变量不在同一单调区间的，要转化到同一单调区间，在予比较 （3）对数函数的图象规律：若a?1，则底数越大图象越靠近x轴； 若0?a?1，则底数越小图象越靠近x轴；
指数函数的图象规律：若a?1，则底数越大图象越靠近y轴； 若0?a?1，则底数越小图象越靠近y轴；
a b c d 【训练2】（1）如图为指数函数y?ax，y?bx，y?cx，y?dx的图象，则 A.a?b?1?c?d B. b?a?1?d?c C. c?d?1?a?b D. d?c?1?b?a
解：过x?1作x轴的垂线，分别与图象相交，其交点的纵坐标由下而上依次是 b,a,d,c.∴选B
c
a b
（2）如图为对数函数y?logax，y?logbx，y?logcx，y?logdx的图象，则 d
A.a?b?1?c?d B. b?a?1?d?c C. c?d?1?a?b D. d?c?1?b?a
解：过y?1作y轴的垂线，分别与图象相交，其交点的横坐标由左到右依次是 c,d,a,b.∴选C
（3）【2012高考重庆文7】已知a?log23?log小关系是
（A） a?b?c （B）a?b?c （C）a?b?c （D）a?b?c 【答案】B
【解析】a?log23?log223，b?log29?log23，c?log32则a,b,c的大
3?log23?12log23?32log23，
5
b?log29?log23?2log23?12log23?32?log23，c?log32?12log22log23?1log23则a?b?c
（4）(2010·全国)设a＝log32，b＝ln 2，c?5，则( )．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析 法一 a＝log32＝
1111
，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5－＝，而5＞2log23log2e25＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C.
法二 a＝log32＝
11111111，b＝ln 2＝，1＜log2e＜log23＜2，∴＜＜＜1；c＝5－＝＜log23log2e2log23log2e254
1
＝，所以c＜a＜b，故选C. 答案 C 2
考点三 指数函数、对数函数的性质（定义域、值域、单调性，奇偶性）
【例3】?（1）求下列函数的定义域和值域
①y?log2(1?x2) ②y?log12(3x?2)
解：①定义域：1?x2?0?x2?1?0??1?x?1，∴定义域为（－1，1） 值域：令t?1?x2，则复合函数的内层函数是t?1?x2，外层函数是y?log2t.
∵函数定义域为?1?x?1，∴内层函数t?1?x2的值域是0?t?1，此为外层函数y?log2t的定义域 ∴y?log2t（0?t?1）的值域是y?0，∴原函数的值域是y??yy?0?.
?log1(3x?2)?0?log1(3x?2)?log??22??②定义域：????3x?2?0?3x?2121?3x?2?12????x?1
3x?23?23值域：内层函数是t?log(3x?2)，外层函数是y?12t，当?x?1时，内层函数t?log12(3x?2)的
值域是t?0，∴函数的值域是y??yy?0? ?（2）求函数y?lg(3?2x?x)的单调区间
22解：函数的定义域是－1?x?3，令t?3?2x?x，则内层函数：t?3?2x?x，外层函数：y?lgt
2∵内层函数在（－1，1）增，在（1，3）减，而外层函数是增函数， ∴函数在（－1，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数。 ?（3）已知函数f(x)?lgx?(2a?1)x?(1?3a),(a?0)，讨论函数f(x)的奇偶性
6
解：函数的定义域：
x?(2a?1)x?(1?3a).?0?[x?(2a?1)][x?(1?3a)]?0
比较?(2a?1)与?(1?3a)的大小：[?(2a?1)]?[?(1?3a)]???5a
∴当a?0时，?(1?3a)??(2a?1)，定义域为(??,?(2a?1))?(?(1?3a),??) 当a?0时，?(1?3a)??(2a?1)，定义域为(??,?(1?3a))?(?(2a?1),??) ∵f(x)具有奇偶性的条件是定义域区间关于原点对称，∴3a?1??(?2a?1)?a?2 ∴当a?2时，f(x)?lgx?5x?5,有f(?x)?f(x)?0，f(x)为奇函数
当a?2(a?0)时，定义域区间不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数
（1）求复合函数的值域：先求内层函数的值域，并把它作为外层函数的定义域，再求外层函数
的值域。
（2）求复合函数的单调区间的一般步骤是（1）求函数的定义域；（2）用换元法把复合函数分解成常见基本函数，并分出“内层”、“外层”；（3）分别判断内层、外层函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则确定复合函数的单调性。
113
＋?·【训练3】（1）已知函数f(x)＝?x?a－12?x(a＞0且a≠1)． ①求函数f(x)的定义域； ②讨论函数f(x)的奇偶性； ③求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决． 解 ①由于ax－1≠0，即ax≠1，所以x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． ②对于定义域内任意x，有
11a1?11113?＋?(－x)3＝?＋?(－x)3 ＝?x＋?x3＝f(x)， f(－x)＝?－xx＋(－x)＝－1－x?a－12??1－a2???a－12?a－12?∴f(x)是偶函数．
③当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1， ∴ax－1＞0，
1?1133?1＋＋＞0.又x＞0时，x＞0，∴xx?a－12?＞0，即当x＞0时，f(x)＞0. ax－12
x
又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立． 综上可知，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立． ?a＋1?x
当0＜a＜1时，f(x)＝x. 2?a－1?
当x＞0时，1＞a＞0，a＋1＞0， a－1＜0，x＞0，此时f(x)＜0，不满足题意； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a＞1.
7
x
x
x
3
x
3
（2）已知f(x)＝log4(4x－1)
1
①求f(x)的定义域； ②讨论f(x)的单调性； ③求f(x)在区间?，2?上的值域．
?2?解 ①由4x－1>0解得x>0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． ②设0 因此log4(4x1－1) 111 ③f(x)在区间?，2?上递增，又f??＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在?，2?上的值域为[0，log415]． ?2??2??2?（3）（07年天津卷）如果函数f(x)?ax(ax?3a2?1)(a?0且a?1)在区间[0,??)上是增函数，那么实数a的取值范围是 A. ?0, B. ?,1? C. 1,3 D. ?,??? ???3??2??3?解：令ax?t，则f(t)?t2?(3a2?1)t ①若a?1，内层函数t?ax是增函数，由题意f(x)在区间[0,??)上是增函数，∴t?[1,??)且外层应为 3a?122?2??3????3?增函数。而外层函数f(t)?t?(3a?1)t，t?[1,??)的增函数区间是[22,??)， 由于t?[1,??)，∴应有 3a?122?1??33?a?33，∵前提条件a?1，∴a??，故舍去。 ②若0?a?1，内层函数t?ax是减函数，由题意f(x)在区间[0,??)上是增函数，∴t?(0,1]且外层应 22为减函数。而外层函数f(t)?t?(3a?1)t，t?(0,1]的减函数区间是(0,3a?122]，由于t?(0,1]， ∴应有 3a?122?1?a??33或a?33，∵前提条件0?a?1，∴ 33?a?1，故选B。 考点四 指数函数、对数函数的性质的应用（解不等式，求参数的范围，最值等） 【例4】?（1）已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围． ??a＞1 [审题视点] a＞0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有?. ?2－ax＞0? 解 ∵a＞0，且a≠1， ∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数． 又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数， ∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数． 其充要条件是? ?a＞1? ??2－a＞0 ，即1＜a＜2. ∴a的取值范围是(1,2)． 8
