第五节 抛物线及其性质
考点一 抛物线的定义及方程
1．(2013·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( ) A．y＝4x或y＝8x C．y＝4x或y＝16x
2
2
2
2
2
B．y＝2x或y＝8x D．y＝2x或y＝16x
2
2
22
解析 设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.
22
pp??又点F的坐标为?，0?，
?2?
所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x－?＋(y－y0)y＝0.
?2?将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0， 即－4y0＋8＝0，所以y0＝4. 2由y0＝2px0，得16＝2p?5－?，
?2?解之得p＝2，或p＝8.
所以C的方程为y＝4x或y＝16x，故选C. 答案 C
2．(2012·安徽，9)过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( ) A.2 2
B.2
C.32
2
D．22
2
2
2
2
p?
p?
y20
?
p?
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2. ∴A点坐标为(2，22)，则直线AB的斜率
k＝
22－0
＝22. 2－1
∴直线AB的方程为y＝22(x－1)， 即为22x－y－22＝0， 22
则点O到该直线的距离为d＝.
3
?y＝4x，由? ?y＝22（x－1），
消去y得，2x－5x＋2＝0，
13
解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，
22391
∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d
222192232
＝××＝. 2232答案 C
3．(2011·陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y＝－8x C．y＝－4x
22
2
2
B．y＝8x D．y＝4x
2
2
解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，＝2?p＝4.∴
2抛物线的方程为y＝8x，故选B. 答案 B
4．(2015·陕西，14)若抛物线y＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x－y＝1的一个焦点，则
2
2
2
2
pp＝________．
解析 由于双曲线x－y＝1的焦点为(±2，0)，故应有＝2，p＝22.
2答案 22
5．(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a
2
2
2
pbC，F两点，则＝________．
a解析 由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D??为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D?，0?， ?2?
?p?将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p?p＋b?＝a2＋2ab，?b?2bF?＋b，b?，变形得??－??a?2??2??a?
－1＝0，解得＝1＋2或＝1－2(舍去)，所以＝1＋2. 答案 1＋2
6．(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交
2
p2
bababa5
点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
88pp82
解 (1)设Q(x0，4)，代入y＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
pp22pp858
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
2p4p所以C的方程为y＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y＝4x得y－4my－4＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m＋1，2m)， |AB|＝m＋1|y1－y2|＝4(m＋1)．
12
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m＋3.
2
2
2
2
22
m4222
将上式代入y＝4x，并整理得y＋y－4(2m＋3)＝0.
m设M(x3，y3)、N(x4，y4)，
42
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m＋3)．
m2?2?2
故MN的中点为E?2＋2m＋3，－?，
?mm?
|MN|＝2
1
1＋2|y3－y4|
m4（m＋1）2m＋1＝. 2
2m1
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
211222
从而|AB|＋|DE|＝|MN|，即
442??2??4(m＋1)＋?2m＋?＋?2＋2?
m??m??
2
2
22
4（m＋1）（2m＋1）
＝. 4
222
m化简得m－1＝0， 解得m＝1或m＝－1.
2
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
7．(2013·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－232
＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，
2
B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x＝4cy(c>0)，由 |0－c－2|32
＝，结合c>0，解得c＝1.
22∴抛物线C的方程为x＝4y.
122
(2)抛物线C的方程为x＝4y，即y＝x，
41
求导得y′＝x，
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，
4411
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
22∴切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)， 2即y＝x－＋y1，
22即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0. ∵切线PA，PB均过点P(x0，y0)， ∴x1x0－2y0－2y1＝0，
2
2
x21x22
x1
x1x21
x2x0－2y0－2y2＝0，
??x＝x1，??x＝x2，?∴和?为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解． ???y＝y1?y＝y2
∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， ∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
