AC,DE⊥AC成立,所以∠DEB是二面角的平面角,即∠DEB=120°,可得∠DBE=30°,在平面DEB内作DO⊥BE于点O,根据AC⊥平面DEB可得DO⊥AC,从而可得DO⊥平面ABC,∠DBE是直线DB与平面ABC所成的角,因为∠DBE=30°,所以直线DB与平面ABC所成的角的正弦值为.故选A.
5.A 解析 ∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°, ∴m,n所成的角的正弦值为.
6.D 解析 如图,把该四面体ABCD补成一个长方体,四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线,由长方体的性质知A,B,C都正确,只有D错误.故选D.
7.D 解析 如图所示,取BD中点E,连接AE,CE,则∠AEC即为二面角A-BD-C的平面角, ∵AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC=4-2cos∠AEC,∠AEC∈, ∴AC∈[1,],
∴=2cos<>=·()=-2+AB·BC·=1-,设异面直线AB,CD所成的角为θ, ∴0≤cos θ≤.故选D.
8.C 解析 根据线面角的定义,当入射光线在面BCC1B1的入射点离点B距离越近,入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值越大,
如图所示,此时tan∠PHB=,
结合选项,可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是.故选C.
9.② 解析 ①中,α∥β或α与β相交,不正确.②中,过直线l作平面γ,设α∩γ=l',则l'∥l,由l⊥β,知l'⊥β,从而α⊥β,②正确.
③中,l∥β或l?β,C不正确.
④中,l与β的位置关系不确定.故填②.
10.②④ 解析 ①错误,PA?平面MOB;②正确;③错误,若OC⊥平面PAC,有OC⊥AC,这与
BC⊥AC矛盾;④正确,因为BC⊥平面PAC.
11.DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析 由定理可知,BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
12. 解析 初始状态直线AD与直线BC成的角为0°,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角的范围为.
13.平行 解析 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,所以FG∥A1D.
所以FG∥平面A1DE.
同理FB∥平面A1DE,又FG∩FB=F,所以平面BGF∥平面A1DE. 14.
①② 解析 如图,连接AQ, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥DQ.
又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD. 故Rt△ABQ∽Rt△QCD. 令BQ=x,则有,
2222
整理得x-2x+a=0.由题意可知方程x-2x+a=0有正实根,所以0 ∴CE2+DC2=DE2,∴EC⊥CD, ∵平面EDC⊥平面ABCD,平面EDC∩平面ABCD=DC,∴CE⊥平面ABCD,∴CE⊥AB, 又AB⊥BC,BC∩CE=C, ∴AB⊥平面BCE. (2)解 过点A作AH⊥DC,交DC于点H, 则AH⊥平面DCE,连接EH, 则∠AEH是直线AE与平面DCE所成角的平面角, ∵×DC×AH=×AB-×AB×BC, ∴AH=, AE=, ∴sin∠AEH=, ∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为. 16.解 (1)∵AB=2AD,∠DAB=60°,∴AD⊥DB, 又BE⊥AD,且BD∩BE=B, ∴AD⊥平面BDE,又AD?平面ADE, ∴平面ADE⊥平面BDE. (2)∵BE⊥AD,AB⊥BE,∴BE⊥平面ABCD, ∴点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2. 设AD与平面DCE所成角为θ,点A到平面DCE的距离为d,由VA-DCE=VE-ADC,得×d×S△CDE=×|BE|×S△ACD,解得d=, 而AD=1,则sin θ=. 故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为.
