8)
作QELx轴于点E（如图2），贝U QE=2 3。
? S = DP- QE= 1
2
3 t o
③当8 延长QP交x轴于点F,过点P作PHLAF于点H（如图3）。 易证△ PBQ与厶PAF均为等边三角形, ? OF=OA+AP亍t AP=t — 8 o ? PH=_3 (t — 8) o 2 1 1 t - 3 …s =S“QF -s當PF =2 t -2 3 — 2 2 (t —-3 12 4 +3 3t o 综上所述， s= 3t 4 —：t2 3 3t 8 ：. t <12 ???①②中S随t的增加而增加， ③中s=—孚2 +3j3t= -￥（t -6 f +9j3 , S随t的增加而减小, ???当t=8时，S最大。 (3)①当△ OPWA OAB 时(如图 4)，贝U PQ/ AB ??? CQ=OP ? at — 4=t，即a=1 + 4 o t的取值范围是 0 则 OP=OM ，即 t =OM OM? 7OB OA 4 7 8 ? 7 t o 又??? QB/ OP BQWAOPM .QB? 12 七 4 7 2 7 OP OM t 7 2 7t 7 整理得t — at=2，即a=1 — 2 , t的取值范围是6< t < & t 综上所述：a=1+ 4 (0 t t 【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值, 勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)如图，过点 C B分别作x的垂线于点 M N, 则在 Rt△ COM中，由/AOC=60, OC=4 应用锐 角三角函数定义，可求得 OM=2 CM=2 3 , ??? C(2 , 2 3)。 由CMN是矩形和 0A=8得BM=2 3 , ON=1Q在Rt△ OBN中，由勾股定理，得 OB=4J7 。 (2) 分0 最大时t的值。 (3) 分厶OPWA OAB和厶OPWA OBA两种情况讨论即可。 6. ( 2012福建福州13分)如图①，在 Rt△ ABC中，/ C= 90o, AC= 6, BC= 8,动点P从点A开始沿边 Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度 AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点 运动，过点P作PD// BC交AB于点D,连接PQ点P、Q分别从点A C同时出发，当其中一点到达端点 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 (1) 直接用含t的代数式分别表示： t秒(t >0). QB= ______ , PD= _____ . (2) 是否存在t的值，使四边形 PDBC为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由.并探究 如 何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDB(在某一时刻为菱形，求点 Q的速度; (3)如图②，在整个运动过程中，求出线段 PQ中点M所经过的路径 长. C 2 (1) QB = 8 — 2t , PD= ： t。 不存在。理由如下: 在 Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC= 6, BC= 8AB= 10。 AD AP AD t 5 ?/ PD// BC ??? △APSAACB ???—=* AB AC 即：一=—,??? 10 6 AD=—t。 3 --BD= AB— AD= 10 ----- 531 o ?/ BQ// DP ?当BQ= DP时，四边形PDBQ是平行四边形。 4 12 ?- 8— 2t = t，解得：t = 3 5 t 12 4 12 16 5 12 当 t = 5 时，PD= 3X 5 = 5 , BD= 10— 3 X 5 = 6, ? DP^ BD ??小PDBQ^能为菱形。 4 5 设点Q的速度为每秒v个单位长度，则 BQ= 8— vt , PD= 3t , BD= 10— 3t。 要使四边形PDBC为菱形，贝U PD= BD= BQ 当 PD= BD时，即；t = 10 — ；t，解得：t = 10。 当PD= BQ时，t =乎时，即3X ￥= 8 — 斗，解得：v = 15。 ?要使四边形PDB嚴某一时刻为菱形，点 16 Q的速度为15单位长度/秒。 如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。 依题意，可知 0W t < 4o 当t = 0时，点M的坐标为(3 , 0); 当t = 4时，点M的坐标为(1 , 4)。 设直线MM的解析式为y = kx + b, Y3k + b = k =— 2 0 ，解 k+ b= 4 得: b= 6 ?直线MM的解析式为y = — 2x + 6。 ???点 Q(0, 2t) , P(6 — t , 0), 6— t ?在运动过程中，线段 PQ中点M的坐标为(一2 , t)。 6— t 6— t 把 x = 2，代入 y=— 2x + 6,得 y = — 2X ? + 6 = t。 ???点M在直线MM上。?线段PQ中点M所经过的路径长即为线段 MM。 过点 M作MN丄x轴于点 N,贝U MN= 4, MN= 2。 x 【答案】解： ⑵ MiM2= 2-?」5。 ???线段PQ中点M所经过的路径长为 2 5单位长度。 【考点】锐角三角函数定义， 相似三角形的判定和性质， 一次函数综合题，勾股定理，菱形的判定和性质. 【分析】(1)根据题意得：CQ= 2t，PA= t，由 Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC= 6, BC= 8, PD// BQ 即可 PD BC 4 得tanA = PA= AC= 3,则可求得 QB与PD的值。 (2) 易得△ AP\AACB即可求得 AD与BD的长，由BQ/ DP可得当 BQ= DP时，四边形 PDBQ是平行四边形，即可求得此时 DP与BD的长，由DP^ BD可判定？PDBQ^能为菱形；然后设点 Q的速 度为每秒v个单位长度，由要使四边形 PDBC为菱形，则PD= BD= BQ列方程即可求得答案。 (3) 建立直角坐标系，求出线段 PQ中点M始末坐标M和M,求出直线MM的解析式，并证明线段 PQ任一中点在直线 MM上，从而得出线段 MM即为线段PQ中点M所经过的路径长，根据勾股定理即可求 出。 7. ( 2012福建泉州12分)已知：A、B C不在同一直线上. (1) 若点A、B C均在半径为 R的OO上， i )如图一，当/ A=45时，R=1,求/ BOC的度数和BC的长度； BC ii )如图二，当/A 为锐角时，求证 sin / A=- 2R (2) .若定长线段BC的两个端点分别在/ MAN的两边AM AN ( B、C均与点A不重合)滑动，如图三，当 / MAN=60 , BC=2时，分别作BP丄AM CPLAN交点为点 P，试探索：在整个滑动过程中， 距离是否保持不变？请说明理由 P、A两点的 3 图① 图② 图③ 【答案】絡⑴1） ZA=45S 二NB0O9F （同弧所对的圆周角等于其所对的匾心角的一半人 又TRF,二由勾股定理可知BC=^/T7T=72 B ii）证明；连接BO并延长，交區于点E,连接EC? 可知EC丄BC （直径所对的圆周角为卯呗 3 S_ZE=ZA （同弧所对的13周角相等）* 故论心5竺旦 BE 2R （2）保持不变.理由如下* 如图，连接AP,取AP的中点K,连接EK、CK, 在 RtAAPC 中, CK=LAP=AK=PK. 同理猖 ’ BK-AK-PECa /.CK=BK=AK=PKB Bs P、C 都在OK±B 2R 二由（1） ii） sinZA= — 二烛=丄巳=便（为定值人 sin60° 3 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定 理, 角三角形中线性质。 【分析】（1）i ）根据圆周角定理得出/ BOC=2A=90 ，再利用勾股定理得出 A, CE=2R利用sin / A=sin / E=——=——，得出即可。 （2）首先证明点A、B P、C都在OK 上,再利用sin / A= C ,得出AP= C BC的长; BC BC ii ）作直径 CE则/ E=Z 锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直 BE 2R （定值） sin 60° 3 BC AK； 3 3 BC 2R 即可。
