???在 Rt△ OCE中,
CE = 2\\3
=4
sin ZCOD 3
???弧BC的长度为
------- =:■:。
60 臥 4 4 180
【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数
值，弧长的计算。
【分析】(1)连接OC则厶OCD是直角三角形，可求出/ COD的度数；由于/A与/COD是同弧所对的圆周 角与圆心角?根据圆周角定理即可求得/A
的度数。
3
(2) 解Rt△ OCE求出即可求出弧 BC的长度。
3.
( 2012福建龙岩12分)如图1,过厶ABC的顶点A作高AD,将点A折叠到点D (如图2),这时EF为
折痕，且△ BED和厶CFD都是等腰三角形，再将△ BED和厶CFD沿它们各自的对称轴 EH FG折叠，使B、C 两点都与点D重合，得到一个矩形 EFGH(如图3),我们称矩形 EFGH^AABC的边BC上的折合矩形.
(1 )若厶ABC的面积为6,则折合矩形 EFG啲面积为 _____________ ; (2)如图4，已知△ ABC在图4中画出厶ABC的边BC上的折合矩形 EFGH
(3) _________________________________________________________________________________ 如果△ ABC的边BC上的折合矩形 EFGH是正方形，且 BC=2a那么，BC边上的高 AD= ___________________ 正方形EFGH的对角线长为 ___________ .
T
T— -T—r~
■?
a, a
图2
【答案】解: (1) 3。
(2)作出的折合矩形 EFGH
(3) 2a ;
2a。
【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。
【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形 EFGH的面积为△ ABC的面积的一半，
（2） 按题意，作出图形即可。
（3） 由如果△ ABC的边BC上的折合矩形 EFGH是正方形，且 BC=2a那么，正方形边长为 a，BC 边
上的高AD为EFGH边长的两倍2a。
根据勾股定理可得正方形 EFGH的对角线长为 2a。
4.
（ 2012福建龙岩13分）矩形ABCD中, AD=5 AB=3,将矩形ABCD&某直线折叠，使点 A的对
应点A'落在线段BC上，再打开得到折痕 EF.
（1） _______________________________________ 当A'与B重合时（如图1）, EF= ;当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2） 观察图3和图4,设BA =x，①当x的取值范围是 _____________ 时，四边形AEA F是菱形；②在①
的
条件下，利用图4证明四边形AEA F是菱形.
在 Rt △ A DC 中，DC=AB=2 ??? AC=(52 —32 =4。
??? A B=BC-A C=5- 4=1。
???/ EA B+Z BEA =Z EA B+Z FA C=9 0°, BEA =Z FA G
A E AB
A \5
3
又 TZ B=Z C=90°,「. Rt△ EBA s Rt△ A' CF。? A E = A B，即 A E = 1
A*F FC
? AE=5。
3
V 9
3
在 Rt△ A' EF 中，EF*AE2 +A\2 = J25+25 二5^。
(2)① 3 乞x^5。
②证明：由折叠(轴对称)性质知Z AEF=/ FEA , AE=A E, AF=A F。 又?/ AD// BC, ???/ AFE=/ FEA °「.Z AEF=/ AFE。
? AE=AF ? AE=A E=AF=A F。
???四边形AEA F是菱形。
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性 质，菱形的判定。
【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当 A'与B重合时(如图1)，EF= AD=5。
根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出
A B A'F和FC的长，由Rt△ EBA s Rt△ A CF
5
求得A E ，在Rt △ A EF中，由勾股定理求得 EF的长。
3
(2)①由图3和图4可得，当3岂x岂5时，四边形AEA F是菱形。
②由折叠和矩形的性质，可得
AE=A E, AF=A F。由平行和等腰三角形的性质可得
AEA F是菱形。
AE=AF>
从而AE=A E=AF=A F。根据菱形的判定得四边形 5.
( 2012福建漳州 14分)如图，在LI OABC中，点 A在x轴上，/ AOC=60°, OC=4cm 0A=8cm 动 点P从点0
出发，以1cm/ s的速度沿线段OA T AB运动；动点Q同时从点0出发，以 acm/ s的速度沿线段OCT CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动.
设运动时间为t秒.
(1) 填空：点C的坐标是( _________ , ______ )，对角线 OB的长度是 _______ cm；
(2)当a=1时，设△ OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？ (3)
当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以OM P为顶点的三角
形与△ OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出 t的取值范围.
【答案】解：(
