《复变函数》教案 第一章 复数与复变函数 盐城师范学院数学科学学院
（4）、若简单折线P 的端点属于I（C），另一个端点属于E（C），则P必与C相交。
沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是: 当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左边，即“逆时针”方向，成为正方向；另一个方向是: 当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左边，即“顺时针”方向，成为负方向。
定义1.9 设D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域。否则，称为多连通区域。
C?中区域的连通性：如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D，则
称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。 例1.10集合{z|(1?i)z?(1?i)z?0}为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线 (1?i)z?(1?i)z?0
即x?y?0。
例1.11集合{z|2?Rez?3}为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线
Rez?2及Rez?3。
例1.12集合{z|2?arg(z?i)?3}为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线
arg(z?i)?2及arg(z?i)?3。
例1.13集合{z|2?|z?i|?3}为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆|z?i|?2及|z?i|?3。
例1.14在C?上，集合{z|2?|z|???}与{z|2?|z|???}分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为{|z|?2}及{|z|?2}?{?}。
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第三节 复变函数
教学课题：第三节 复变函数
教学目的：1、充分了解关于单值函数、多值函数、定义域、值域和关于反函数概念；
2、理解影射概念；
3、充分了解“入变换”、“满变换”和“一一变换”。
教学重点：平面点集的几个基本概念 教学难点：区域与约当曲线 教学方法：启发式教学 教学手段：讲授
教材分析：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念. 教学过程： 1．复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果有一个法则f，使得?z?x?iy?E，?w?u?iv?C同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为w?f(z)。 注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；
注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w和z对应； 注解
3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若z?x?iy，
w?Ref(z)?iImf(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则w?f(z)等价于两个二元实变函数u?u(x,y)和v?v(x,y)。
函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值w?f(z)表示在另一个复平面上，称为w-平面。
从集合论的观点，令A?{f(z)|z?E}，记作A?f(E)，我们称映射w?f(z)把任意的
z0?E映射成为w0?f(z0)?A，把集E映射成集A。
称w0及A分别为z0和E的象，而称z0和E分别为w0及A的原象。
若w?f(z)把E中不同的点映射成A中不同的点，则称它是一个从E到A的双射。
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例1、 考虑映射w?z??，w?z,w?z2。
解：设z?x?iy，w?u?iv，??a?ib，则有u?x?a，v?y?b，这是一个z平面到w平面的双射，我们称为一个平移。 例2、 考虑映射w??z，其中??0。
解：令??r(cos??isin?)，则它可以分解为以下两个映射的复合：
??(cos??isin?)， w?r?
第一个映射是一个旋转（旋转角为?），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。 例3、 考虑映射w?1。 z1， w?z1 z解：它可以分解为以下两个映射的复合：
z1?映射w?z1是一个关于实数轴的对称映射； 映射z1?1把z映射成z1，其辐角与z相同： zArgz1??Argz?Argz
而模|z1|?|111|?，满足|z1||z|?1。我们称z1?为关于单位圆的对称映射，z与z1称为关
zz|z|于单位圆的互相对称点。
若规定w?射。
例4、考虑映射w?z。
解：w?z?(x?iy)?x?y?2ixy等价于
222221把z?0,?映射成w??,0，则它是一个扩充z平面到扩充w平面的一个双zu?x2?y2， v?2xy。
例5、考虑映射w?z??。
解：设z?x?iy，w?u?iv，??a?ib，则有u?x?a，v?y?b，这是一个z平面
到w平面的双射，我们称为一个平移。
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例6考虑映射w?解：令??z，其中??0。
?r(cos??isin?)，则它可以分解为以下两个映射的复合：
??(cos??isin?)， w?r?
第一个映射是一个旋转（旋转角为?），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。
例7、考虑映射w?1。 zz?11z解：它可以分解为以下两个映射的复合：
， w?z 1映射w?z是一个关于实数轴的对称映射； 1映射z1把映射成z，其辐角与z相同：
11zz?Argz??Argz?Argz
1而模|z111|?||?，满足|z1||z|?1。我们称z?为关于单位圆的对称映射，z与
1z1z|z|z称为关于单位圆的互相对称点。
1若规定w?个双射。
例8、考虑映射w?z2。 解：w?z1把z?0,?映射成w??,0，则它是一个扩充z平面到扩充w平面的一z2?(x?iy)2?x2?y2?2ixy等价于
u?x2?y2， v?2xy。
2．复变函数的极限与连续
定义1.16 设函数w?f(z)在集合E上确定，z0是E的一个聚点，a是一个复常数。如果任给??0，可以找到一个与?有关的正数???(?)?0，使得当z?E，并且0?|z?z0|??时，
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