23．（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF=AB，而CD∥AB，CD=AB， ∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC； （2）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴即EG=CD，同理：FH=CD，∴
=
=．
=
=，
24．解：（1）标价为1000元的商品按80%的价格出售，消费金额为800元， 消费金额800元在700﹣900之间，返还金额为150元， 顾客获得的优惠额是：1000×（1﹣80%）+150=350（元）； 答：顾客获得的优惠额是350元； （2）设该商品的标价为x元．
①当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×（1﹣80%）+60=185＜226； ②当500＜80%x≤600，即625＜x≤750时， 顾客获得的优惠额：（1﹣80%）x+100≥226，解得x≥630．即：630≤x≤750． ③当600＜80%x≤700，即750＜x≤875时，因为顾客购买标价不超过800元，所以750＜x≤800， 顾客获得的优惠额：750×（1﹣80%）+130=280＞226．
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．
答：该商品的标价至少为630元． 25．解：（1）把A（2，n）代入y=
（x＞0）得：2n=n+4，
解得：n=4；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由为：过A作AE⊥x轴，交BC于点D，
由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∵BC⊥y轴于点C，∴点C（0，2），
∴CD=BD=AD=DE=2，∴△ACD与△ABD都为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°，∵AC=AB=2，∴△ABC为等腰直角三角形；
（3）连接BE，∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE，
∴△ABD与△BDE都为等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°， ∴∠ABE=90°，AB=BE=2，
则当P与E重合时，△PAB为直角三角形，此时P坐标为（2，0）；
延长AC与x轴交于点P，连接PB，此时∠PAB=90°，△PAB为直角三角形， 设直线AC解析式为y=kx+b， 将A与C坐标代入得：
，解得：
，∴直线AC解析式为y=x+2，
令y=0，求得：x=﹣2，即P（﹣2，0），综上，m的值为2或﹣2．
26．解：（1）∵m是方程x﹣x﹣2=0的根，∴m﹣m﹣2=0，m﹣2=m，
2
2
2
13
∴原式=（m﹣m）（
2
+1）=2×（+1）=4；
（2）①把x=﹣1代入y=﹣x得：y=1，即A的坐标是（﹣1，1）， ∵反比例函数y=经过A点，∴k=﹣1×1=﹣1；
②若∠PAB是直角，则OP=2OA，则P（0，2），
22
若∠PBA是直角，则OP=2OB，则P（0，﹣2），
222
若∠APB是直角，则PA+PB=AB，则P（0，），（0，﹣）， ∴点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）． 27．（1）解：设OE=a，则A（a，﹣a+m），
∵点A在反比例函数图象上，∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a2+am， 由一次函数解析式可得C（2m，0），∴CE=2m﹣a，
∴OE．CE=a（2m﹣a）=﹣a+2am=12，∴k=（﹣a+2am）=×12=6． （2）证明：连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，∴FM∥EN， ∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，∴AE⊥BF，
S△AEF=AE?OE=，S△BEF=BF?OF=，∴S△AEF=S△BEF，∴FM=EN，
∴四边形EFMN是矩形，∴EF∥CD；
（3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=，∴CD=4， 由直线解析式可得OD=m，OC=2m，∴OD=4，又EF∥CD，∴OE=2OF，∴OF=1，0E=2，
∴DF=3，∴AE=DF=3， ∵AB=2，∴AP=，∴EP=1，∴P（3，0）． 28．（1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点， ∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y=ax﹣x+c过B、C两点，
2
2
2
2
2
∴
，解得 ，∴y=x﹣x﹣2．
2
（2）证明：如图1，连接AC，∵y=x﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0）， 在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴AC=，
在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，∵AB=AO+BO=1+4=5，
222
∴AB=AC+BC，∴△ABC为直角三角形．
（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：
2
14
①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．
设GC=x，AG=∴GF=2
﹣2x，
）=﹣2x+2
2
﹣x，∵，∴，
∴S=GC?GF=x?（22（x﹣
）+，即当x=
2
x=﹣2[（x﹣）﹣]=﹣
2
时，S最大，为．
②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，
设GD=x，∵
，∴
，∴AD=
x，∴CD=CA﹣AD=
﹣x，∵，∴
2
，∴DE=5﹣x，
2
∴S=GD?DE=x?（5﹣x）=﹣x+5x=﹣[（x﹣1）﹣1]=﹣（x﹣1）
2
+，即x=1时，S最大，为．
综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．
29解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x+bx+c，得：得解析式y=x﹣x+1．
2
2
，
（2）设C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），则有解得，∴C（4，3）
由图可知：S四边形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由对称轴为x=可知E（2，0）， ∴S=AE?y0﹣AD×OB=×4×3﹣×3×1=． （3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°， ∴∠OBP=∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴
2
，即，
整理得a﹣4a+3=0，解得a=1或a=3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．
30解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0），
15
则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣x+x+2；
2
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得 ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE=
=
．
=
，∴DG=1．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线；
（3）由题意，得E（﹣，0），B（2，2）． 设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则
，解得，，∴直线BE为：y=x+．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=，即P（1，）．∵MN∥BE，∴∠MNC=∠BEC．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC，∴
=
，∴
=，则CN=t，∴DN=t﹣1，
∴S△PND=DN?PD=（t﹣1）?=t﹣．S△MNC=CN?CM=×t?t=t． S梯形PDCM=（PD+CM）?CD=?（+t）?1=+t． ∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣∵抛物线S=﹣
+t（0＜t＜2）．
2
+t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．
16
