第一章 解三角形章末复习课
学习目标
1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式．
一、自主梳理 （1）正弦定理：
2=
= =2R（R为△ABC外接圆的半径）
（2）余弦定理：（1）c?
（2）cosA?
b2?
cosB?
a2?
=
cosC? =
（3）S?ABC?
二、解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．
三、基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中； ③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求． 典例精析
?例1、在?ABC中，A?60,a?3，则
a?b?c?（ ）
sinA?sinB?sinCA.
83239263 B. C. D. 23 333a?b?ca??23。
sinA?sinB?sinCsinA解析：由比例性质和正弦定理可知
1sin C15
例2、在△ABC中，若cos B＝，＝2，且S△ABC＝，则b等于( )
4sin A4A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C.因为＝
csin C115＝2，所以c＝2a.因为cos B＝所以sin B＝，
asin A44
1151522
又因为S△ABC＝acsin B＝a3＝，所以a＝1，即a＝1，c＝2，
2441222
所以b＝a＋c－2accos B＝1＋4－2323＝4，所以b＝2.
4
例3、在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( ) A．1 解析：选C.c＝a＋b－2abcos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C， π 因为c为最大边，所以 2 2 2 2 所以5<5－4cos C<9，即5 例4、已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋为( ) A. ππππB. C. D. 46312 3 c＝b，所以 2 3 c＝b.若a＝1，3c－2b＝1，则角B2 解析：选B.因为acos C＋sin Acos C＋ 33 2sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，因为sin C22 3π22222 ，因为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a＝b＋c－2bccos A，知1＝b＋c－326 2 ≠0，所以cos A＝ 1 13 ?1＝b＋c－3bc，21abbsin Abc，联立?解得c＝3，b＝1，由＝，得sin B＝＝＝，因为b＜c，所 sin Asin Ba12?3c－2b＝1， 2 π 以B＜C，则B＝，故选B. 6 例5、在△ABC中，b＝1，a＝2，则角B的取值范围是________． 121?1?解析：由正弦定理得＝，所以sin B＝sin A∈?0，?. sin Bsin A2?2?又因为b π 例6、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝1，b＝2，B＝，则cos 2C的值为________． 3πab123 解析：因为a＝1，b＝2，B＝，根据正弦定理＝，得＝，解得sin A＝. 3sin Asin Bsin A43 2π13 因为a＜b，所以A＜B＝，所以cos A＝， 34 所以cos C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－ 131333－13 3＋3＝， 42428 5＋3135＋313?3－13?2 所以cos 2C＝2cosC－1＝23?－1＝－.【答案】－ ?1616?8? 2 例7：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________． a2＋b2－c212π2π解析：因为(a＋b)－c＝ab，所以cos C＝＝－，C＝.【答案】 2ab233 2 2 ??例8、在?ABC中，已知A?30,C?45a?20，解此三角形。[来源:学&科&网Z&X&X&K] 解析：由正弦定理 ac20c??，即，解得c?202， 1sinAsinC222???由A?30,C?45，及A?B?C?180可得B?75， ?又由正弦定理 ab20?，即?1sinAsinB2b6?24，解得b?106?2 ??23 例9、在△ABC中，已知c＝2，b＝，B＝45°，解此三角形． 3解析：由正弦定理得sin C＝ csin B2sin 45°3 ＝＝. b223 3 又因为0°＜C＜180°，且b＜c，所以C＝60°或C＝120°. 23 sin 75°3bsin A3 当C＝60°时，A＝180°－(60°＋45°)＝75°，a＝＝＝1＋； sin Bsin 45°3当C＝120°时，A＝180°－(45°＋120°)＝15°， 23 sin 15°3bsin A3 a＝＝＝1－. sin Bsin 45°3 1例10、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos C＝a－c. 2(1)求角B的大小；(2)若b＝1，求△ABC的周长l的取值范围． 1 解析：(1)由bcos C＝a－c及正弦定理，得 21 sin Bcos C＝sin A－sin C?sin Bcos C 21 ＝sin Bcos C＋cos Bsin C－sin C， 21 即cos Bsin C＝sin C， 21 因为sin C≠0，所以cos B＝， 2π 又0＜B＜π，得B＝. 3(2)由(1)及正弦定理得a＝ bsin A2sin A＝， sin B3 bsin C2sin Cc＝＝， sin B3 2sin A2sin C所以l＝a＋b＋c＝＋1＋＝1＋ 3323 (sin A＋sin C)＝1＋2 ?π?[sin A＋sin(A＋B)]＝1＋2sin?A＋?， 6??3 π2πππ5π1?π?因为B＝，所以0＜A＜?＜A＋＜?＜sin?A＋?≤1， 6?336662?所以2＜l≤3， 所以△ABC的周长l的取值范围为(2，3]． 2例11．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝5cosC． 3(Ⅰ)求tanC的值； (Ⅱ)若a＝2，求?ABC的面积． 522解析：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝1?cosA?， 33又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ＝52cosC＋sinC． 整理得：tanC＝5． 335． 6(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝又由正弦定理知：故c?3． (1) ac， ?sinAsinCb2?c2?a22?． (2) 对角A运用余弦定理：cosA＝ 2bc3解(1) (2)得：b?3orb＝∴?ABC的面积为：S＝3(舍去)． 35． 2a2－b2sin（A－B） 例12、在△ABC中，求证：2＝. csin C证明：因为右边 ＝＝ sin Acos B－cos Asin B sin Csin Asin B2cos B－2cos A sin Csin Caa2＋c2－b2bb2＋c2－a2＝2－2 c2acc2bca2＋c2－b2b2＋c2－a2a2－b2＝－＝2＝左边． 22 2c2cca2－b2sin（A－B）所以2＝. csin C备选例题1在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值 【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系求角，可以利用正弦定理解决问题；（2）由已知两边和角求第三边，所以应用余弦定理求解。 【解析】（1）由正弦定理可得 6ab326326?，即：，∴，∴cosA?. ??sinAsinB3sinAsin2AsinA2sinAcosA
