南京信息工程大学数值分析实验报告（一）
实验名称数值分析 实验日期 2016.5.13得分指导教师
专业 数学与应用数学 年级 大二 班级 应用数学1班 姓名 丁晨 学号 20141323001
一、 实验目的
（1） 了解插值的基本原理
（2） 了解拉格朗日插值，牛顿差值和样条差值的基本思想； 二、实验内容
1.已知函数在下列各点的值为 xi f(xi) 0.2 0.98 0.4 0.92 0.6 0.81 0.8 0.64 1.0 0.38 试用4次牛顿插值多项式P4（x）及三次样条函数S（x）对数据进行插值。用图给出{（xi,yi）,xi=0.2+0.08i,i=0,1,11,10}P4(x)及S（x）
2.在区间[1,1]上，取n=10，20用两组等距节点对龙格函数f(x)=
1作三次样条差值，21?25x对每个n分别画出差值函数和f（x）的图形。 3.
三、实验求解 1.程序代码： clc;
x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];
y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:);
for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j
c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end
syms x df d;
df(1)=1;d(1)=y1(1);
for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i-1)*df(i); end
P4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs;
q1=q(1,:)*[(x-.2)^3;(x-.2)^2;(x-.2);1]; q1=vpa(collect(q1),5)
q2=q(1,:)*[(x-.4)^3;(x-.4)^2;(x-.4);1]; q2=vpa(collect(q2),5)
q3=q(1,:)*[(x-.6)^3;(x-.6)^2;(x-.6);1]; q3=vpa(collect(q3),5)
q4=q(1,:)*[(x-.8)^3;(x-.8)^2;(x-.8);1]; q4=vpa(collect(q4),5)%求解并化简多项式
运行matlab程序结果如下：
P4 =0.98*x - 0.3*(x - 0.2)*(x - 0.4) - 0.625*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.6) - 0.20833*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 0.6) + 0.784
q1 =- 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04
q2 =- 1.3393*x^3 + 1.6071*x^2 - 0.88929*x + 1.1643
q3 =- 1.3393*x^3 + 2.4107*x^2 - 1.6929*x + 1.4171
q4 =- 1.3393*x^3 + 3.2143*x^2 - 2.8179*x + 1.8629
1.110.90.80.70.60.50.4 0已知的点牛顿插值多项式三次样条函数 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
所以
4次牛顿差值多项式P4(x)=0.98*x - 0.3*(x - 0.2)*(x - 0.4) - 0.625*(x - 0.2)*(x
- 0.4)*(x - 0.6) - 0.20833*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 0.6) + 0.784
三次样条差值多项式Q(x)?
???1.3393x3?0.80357x2?0.40714x?1.04,x?[0.2,0.4]???1.3393x3?1.6071x2?0.88929x?1.1643,x?[0.4,0.6]??1.3393x3?2.4107x2?1.6929x?1.4171,x?[0.6,0.8]???1.3393x3?3.2143x2?2.8179x?1.8629,x?[0.8,1.0]
2.三次样条差值： 1.M文件： x=-1:0.0001:1; y=1./(1+25*x.^2); x1=-1:0.2:1;
y1=interp1(x,y,x1,'spline'); plot(x1,y1,'o',x,y) grid on xlabel('x') ylabel('y') y1
matlab运行结果如下： y1 =
0.0385 0.0588 0.1000 0.2000 0.5000 1.0000 0.1000 0.0588 0.0385
0.5000 0.2000
