故P(A?B)=P(A)?P(B)
17、（A-B）?B=（A?B）-B当且仅当B=?。
证明：? 当B=?时，因为（A-B）?B=（A-?）??=A，（A?B）-B=（A??）-? =A，所以（A-B）?B=（A?B）-B。
用反证法证明。假设B??，则存在b?B。因为b?B且b? A?B，所b?（A?B）-B。?
而显然b?（A-B）?B。故这与已知（A-B）?B=（A?B）-B矛盾。
五、证明或解答：
（数理逻辑、集合论与二元关系部分）
1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：
(1) ?x?y（xy=1）; (2) ?x?y(xy=1); (3) ?x?y (xy=0); (4) ?x?y（xy=0）; (5) ?x?y (xy=x); (6) ?x?y（xy=x）; (7) ?x?y?z (x-y=z)
答：（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1;
（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1; （3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0; （4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x; （6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x; （7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): x
（1）没有小于0的自然数; （2）x （3）若x 答：（1）?x（G(x,0)?M（0,0,x）） 或??x L(x,0) （2）?x?y?z ((L(x,y)?L(y,z))?L(x,z)) （3）?x?y ((L(x,y)??z(L(z,0)?G(xz,yz))) （4）?x?yM（x,y,y） （5）?x?yA(x,y,x) 3、列出下列二元关系的所有元素： 21 个体域为自然数。将 （1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={ （2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={ (2) R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}; (3) R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。 4、对任意集合A,B，证明：若A?A=B?B，则B=B。 证明：若B=?，则B?B=?。从而A?A =?。故A=?。从而B=A。 若B??，则B?B??。从而A?A??。 对?x?B, 5、对任意集合A,B，证明：若A??，A?B=A?C，则B=C。 证明：若B=?，则A?B=?。从而A?C =?。因为A??，所以C=?。即B=C。 若B??，则A?B??。从而A?C??。 对?x?B,因为A??，所以存在y?A, 使 同理可证，C?B。 故B=C。 6、设A={a,b}, B={c}。求下列集合： (1) A?{0,1}?B； (2) B2?A； (3) (A?B)2; (4) P(A)?A。 解：（1） A?{0,1}?B={ （2） B2?A={ （3） (A?B)={ , 7、设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合： （1）A?B?C； （2）A?B?C；（3）(A?B)?C; （4）P(A)-P(B); （5）(A-B)?(B-C); （6）(A?B)?C; 解 ：(1) A?B?C={a}; (2) A?B?C={a,b,c,d,e}; (3) （A?B）?C={b,d}; (4) P(A)-P(B)={{d},{a,d}}; (5) (A-B)?(B-C)={d,c,a}; (6) (A?B) ?C={b,d}。 22 2 8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言： （1）若A?B，且B?C，则A?C； （2）若A?B，且B?C，则A?C; （3）若A?B，且B?C，则A?C； （4）若A?B，且B?C，则A?C； 证明：(1) 成立。 对?x?A, 因为A?B，所以x?B。又因为B?C，所以x?C。即A?C。 (2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (4) 成立。因为A?B, 且B?C，所以A?C。 9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。 证明：?a，b∈A，则{a,b}是A的一个非空子集。?≤是A上的良序关系，?{a,b}有最小元。若最小元为a，则a≤b；否则b≤a。从而≤为A上的的全序关系。 10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则R?S是A上的等价关系。 证明：?a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故xR?Sx。从而R?S是自反的。 aR?Sb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bR?Sa。?a,b∈A， 从而R?S是对称的。 ?a,b,c∈A，aR?Sb且bR?Sc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系， 所以aRc且aSc。故aR?Sc。从而R?S是传递的。 故R?S是A上的等价关系。 11、设R?A×A，则R自反 ?IA?R。 证明：??x?A，?R是自反的，?xRx。即 ??x?A，?IA?R，? 12、设A是集合，R?A×A，则R是对称的?R＝R－1。 _1-1 证明：?? 反之? ??x，y?A，若 的。 13、设A,B,C和D均是集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，则 (1) R?(S?T)=(R?S)?(R?T)； (2) R?(S?T)?(R?S)?(R?T)； 23 证明：（1）? 同理可证（R?S）?（R?T）?R?(S?T)。 故R?(S?T)=（R?S）?（R?T）。 (2) ? 14、设〈A,≤〉为偏序集，??B?A，若B有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。 证明：设a,b都是B的最大元，则由最大元的定义a?b，b?a。??是A上的偏序关系，?a=b。即B如果有最大元则它是惟一的。 15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 1 1 1 2 3 2 3 2 3 ?0?解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=?1?1?0000??1?;它是反自反的、反对称的、传递的； 0??1011??1?;它是反自反的、对称的； 0???0?（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=?1?1??0?（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=?1?0?1001??0?;它既不是自反的、反自反的、也不是对1??称的、反对称的、传递的。 16、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？ （1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; （2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; （3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 解：（1）和（2）都不是A的划分。 （3）是A的划分。其诱导的等价关系是 IA?{<1,2>,<2,1>,<1,7>,<7,1>,<2,7>,<7,2>,<3,5>,<5,3>,<3,10>, <10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。 24
