23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1,公差为d的无穷等差数列{an}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项
a5.
(1) 若a1,a3,a5成等比数列,求d的值；
(2) 在a1?1, d?3的无穷等差数列{an}中，是否存在无穷子数列{bn}，使得数列{bn}为等比数列？若存在，请给出数列{bn}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q(q?1)的无穷等比数 列{cn},总可以找到一个子数列{dn},使得{dn}构成等差数列”. 于是，他在数列{cn}中任取三项ck,cm,cn(k?m?n)，由ck?cn与2cm的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？
上海市徐汇区2013届高三一模数学试题（文科）
参考答案
一、填空题：（每题4分）
??1 1 ??2 731. ? 2. 3. 4. 8 x?1 3 -225??15. 2sin8.
3135?4x 6. arctan2 7. x?0
32 9. 1 10.
11.
?13? 12. 0 ?2,2??? 二、选择题：（每题5分） 15. C 16. B 17.A 18. A 三、解答题 19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分 a?5时，B=(a,??)?(??,5)，满足A?B；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,??)?(??,a)，由A?B，得a?4，故4?a<5，……………..10分 综上，得实数a的取值范围为a?4. ……………………………………………..12分 20. 解：(1)f(x)的定义域为(??,?1)?(1,??)……………………………………………..2分 f(-x)=log2 ?x?1?x?1=log2 x?1x?1=-f(x)， 所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分 (2)由y=log2x?1x?1，得x= 2?12?1yy, 所以，f(x)= -1 2?12?1?1xx,x?0. ……………………………………..9分 (x)?log2k有零点， ?1 因为函数g(x)?f所以，log2k应在f(x)的值域内. 所以，log2k= 2?12?1xx=1+ 22?11x?(??,?1)?(1,??), ………………….13分 从而，k?(2,??)?(0,). ……………………………………………..14分 2 21． 解：(1) 当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=120，知∠OBT=60， …………………………………..2分 故|OB|=分 所以，从B点到轮胎最上部的距离为2?4032?4030 0 . .…………………………………………………………………..4 +40， …………………………..6分 此轮胎露在水面外的高度为d=分 2?403+40-(60?cos600+h)=803?10?h，得证. …..8 (2)只要d?40， …………………………………………………………..12分 即分 ?a2?b2?1?22．解:(1)由?1，得 ……………………………………………………………..2分 1?1?2?22b?a803?10?h?40，解得h?16cm.，所以h的最大值为16cm. …..14 a=2,b=1, 所以，椭圆方程为分 ?x?y?1?2 (2)设PQ:y=x-1，由?x2得3y+2y-1=0, …………………..6分 2?y?1??222 x22?y?1. …………………………………………………..4 2 解得： P(, S?P=T14133),Q(0,-1)，由条件可知点T(2,0), 223??????????PQQT (3) 判断：与共线. ….. …….. …….. ………………………………………11 Q|FT||y1-y2|=. ….. ……………………………………10分 分 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 则 P?(x1,-y1)， ?????P?Q=(x2-x1,y2+y1)， ????TQ=(x2-2,y2), ……………………………..12分 ?y?k(x?1)? 由?x2得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. ………………………..13 2?y?1??2分 (x2-x1)y2-(x2-2)(y1+y2)=(x2-x1)k(x2-1)-(x2-2)(kx1-k+kx2-k) =3k(x1+x2)-2kx1x2-4k=3k 4k22[1?2k-2k 2k?21?2k22-4k =k(分 12k221?2k?4k?41?2k22?4)=0. …………………………..15 ????????? 所以，P?Q与QT共线. ………………………………………………………..16 分 23． 解:(1)由a32=a1a5， ………………………………………………………………………..2分 即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. ……………………………………………..4 分 n-1 (2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4便为符合条件的一个子数列. ……………………..7 分 因 n-1 n-1 12为 2 n?1bn=4=(1+3)=1+Cn?13+Cn?13+…+Cn?13=1+3M, …………………..9分 这里M=Cn?1+Cn?13+…+Cn?13n-2为正整数， 12n?1n-1 所以,bn=1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{an}中的第证. ……………….11分 (注：bn的通项公式不唯一) (3) M+1项，得 该命题为假 题. …………………………………………………….12分 k?1m?1n?1由已知可得ck?aq,cm?aq,cn?aq, 命 因此,ck?cn?aqk?1?aqn?1,又2cm?2aqm?1, 故 (ck?cn)?2cm?aqk?1?aqn?1?2aqm?1?aqk?1(1?qn?k?2qm?k), …………..15分 由于k,m,n是正整数，且n?m，则n?m?1,n?k?m?k?1, 又q是满足q?1的正整数，则q?2, 1?qn?k?2qm?k?1?qm?k?1?2qm?k?1?qqm?k?2qm?k?1?2qm?k?2qm?k?1?0, 所以，ck?cn>2cm ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分
